三角比の正弦余弦正接ってどういう意味?【sin・cos・tanに結びつく覚え方のコツ】 | 您所在的位置:网站首页 › sine正弦 › 三角比の正弦余弦正接ってどういう意味?【sin・cos・tanに結びつく覚え方のコツ】 |
こんにちは、ウチダです。 今回は「三角比」、いわゆる「サイン、コサイン、タンジェント」の日本語読み 「正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)」 について、なぜそのような日本語をあてるのか、簡単に結び付けられる覚え方を解説していきます。 スポンサーリンク 目次正弦余弦正接?覚えづらい!皆さん、三角比を習い始めた当初、不思議ではありませんでしたか? なんで正弦・余弦・正接なんて言い方をするのだろう…そう感じた方も少なからずいると思います。 これについて学校の授業で詳しく解説してしまうと、授業の時間が足りなくなってしまったり、もっと深く掘り下げたい内容を扱えなくなってしまったり、いろいろと大変です。 ![]() 学校には学習指導要領なる、いわゆるマニュアルみたいなものがあり、それがなかなかキツキツの時間設定なんですよね~(^_^;) だから授業であまり取り上げられることがありません。 ですので皆さん、これらの言葉については 特に意味はないけどそういう名前がつけられているから覚えよう…何となくでいいから覚えよう…そう思っているのではないでしょうか。 そこで、今日の記事を読めば、 なるほど!だから日本語ではそういう言い方をするのか!この疑問があっさり解決すると思いますので、ぜひ読み進めていって深い理解につなげてください。 正弦と余弦と正接の意味【正角と余角の定義】![]() まず図のように「斜辺が $1$ の直角三角形」を用意します。 この図において「正角(せいかく)」と「余角(よかく)」を定義していきましょう。 正角:今まさに注目している角度。この場合だと「$θ$」のこと。余角:二つの角の和が直角であるとき、正角ではない方の角度。この場合だと「$90°-θ$」のこと。正角とわざわざ言うことはあまりないですが、余角という言葉はたまに出てくる時があるので、一応覚えておきましょう。 スポンサーリンク 手順1【外接円を書く】![]() 図のように、直角三角形の外接円を書きます。 定理1:いかなる三角形においても、外接円は必ず存在する。この定理は数学A「図形の性質」で”外心”を学ぶときに習います。 あわせて読みたい![]() また、円周角の定理より、中心は必ず斜辺上に存在します。 【証明】$∠ACB=90°$より、$∠AOB=90°×2=180°$よって、線分ABは円Oの直径である。(証明終了) ![]() 円周角の定理については「円周角の定理とは?【必ず押さえたい7つのポイント】」の記事にて詳しく解説しております。 あわせて読みたい![]() ![]() さて、「なぜ正弦(sin)、余弦(cos)というのか」については早速結論が出ます。 図のように、線分AC,線分BCの長さを定義通りに求めます。 すると、$$線分BC=\sin θ、線分AC=\cos θ$$となるわけです! 「どうしてこのように求められるかわからない…」という方は、以下の記事をぜひ参考にしてください。 あわせて読みたい![]() よって、 sin(正弦)…正角に対する弦の長さ cos(余弦)…余角に対する弦の長さということがいえますね!※ここでは「対する」≒「向かいに存在する」という意味で使用しています。 それでは最後に、「正接(tan)」についても見ていきましょう! スポンサーリンク 手順3【点Bに対して接線を引いてみる】![]() 図のように、点Bに対して接線を引き、半直線ACとの交点をDとします。 ここで先に結論を述べてしまいますと… tan(正接)…正角に対する接線の長さつまり、$線分BD=tanθ$になるんですね! これ、不思議ですよね! ですが、この証明はそれほど難しくありません。 しかし、認めなければならない事実が一つありますので、そちらをまず紹介します。 定理3:接線と半径がなす角は直角である。つまり図でいうところの「赤の角度」が90°になるよ、ということです。 ![]() これは中学校1年生で習いますが、厳密に証明しようとすると意外と大変なのです!当たり前の中に難しいことって、意外と隠れてますよね。 ですのでここでは省略。 認めて証明に入っていきましょう 【証明1】三角形の相似を用いる方法△ABCと△BDCにおいて、 $$∠ACB=∠BCD=90° ……①$$ \begin{align}∠DBC&=∠ABD-∠ABC\\&=90°-(90°-θ)\\&=θ\\&=∠BAC ……②\end{align}①、②より、2角がそれぞれ等しいので、$△ABC ∽ △BDC$ よって、$$AB:AC=BD:BC$$ したがって、 \begin{align}1:\cos θ=BD:\sin θ&⇔BD\cos θ=\sin θ\\&⇔BD=\frac{\sin θ}{\cos θ}=\tan θ\end{align}(証明終了) 【証明2】定義通りに求める方法![]() 図のように、直角三角形ABDを反転させる。 (sin,cos,tanの求め方に慣れている方はやらなくて大丈夫です。) ここで、tanの定義通りに式を立てると、 $$\tan θ=\frac{高さ}{底辺}=\frac{BD}{AB}=BD$$ ※ $AB=1$ を代入しました。 (証明終了) 正弦余弦正接に関するまとめいかがだったでしょうか。 もう一度結論だけまとめます。 sin(正弦)…正角に対する弦の長さcos(余弦)…余角に対する弦の長さtan(正接)…正角に対する接線の長さ※ただしこれは、斜辺が $1$ の直角三角形で考えたとき、です。 理解していれば言葉の定義もスッと胸に入ってきますね! 今回のように、言葉の意味についてもしっかりと考察し、数学力を極めていきましょう♪ おわりです。 |
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