sin30.011°的近似计算

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sin30.011°的近似计算

主要内容：

详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin30.011°近似值的主要思路和步骤。

方法一：微分法计算

∵(sinx)´=cosx

∴dsinx=cosxdx.

则有△y≈cosx△x，此时有：

sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。

需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。

对于本题有：

x=30.011°=30°+0.011°,0.011°≈0.0002。

则：

sin30.011°≈sin30°+cos30°*0.0002，

≈sin30°+cos30°*0.0002，

≈0.5002。

注意：本题中取x0为30°，当30.011°越接近30°时，

近似值精确度越高。

方法二：泰勒公式计算

sinx在x=π/6处泰勒展开

sinx=sin(x-π/6+π/6)

=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)

=(√3/2)∑(-1)n*(x-π/6)2n+1/(2n+1)!

+(1/2)∑(-1)n*(x-π/6)2n/(2n)!

=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]

=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]。

当n=1时的近似表达式

sinx

≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)3/3!]-(x-π/6)2/4

≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)2-(x-π/6)/4]

≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)2-3(x-π/6)]

≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)2-√3(x-π/6)]

对于本题：x-π/6=30011π/180000-π/6≈0.0002,则：

sin30.011°

≈1/2+(√3/12)*0.0002*(6-0.00022-√3*0.0002)

≈0.5002。

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