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σ代数定义为满足： 1.包含空集∅； 2.对集合的补运算封闭； 3.对集合的可列并运算封闭。 三条性质的Ω幂集的子集，暂记为S。 a.由性质1,2可以推出Ω∈S。 b.集合的运算有这样的基本关系：C(C(A)∪C(B)) = A ∩ B. 其中C()表示集合的补集。 那么可以推出，σ代数关于∩运算封闭。 c.容易验证，Ω幂集也是σ代数。 有了以上准备，我们可以看一下如何直观地理解σ代数， 尽管相对于集合本身可能出现的各种复杂情况来说，这样想过于简单， （比如一个线段上的点作为集合可以分成有理点集和无理点集，这种分划方式就是非直观的）。 把Ω看作一整块未裁剪的拼图，我们随意从其中裁剪出一块或者多块，我们获得的这些块上的点 构成的集合就是Ω的一个子集，也就是Ω的幂集的一个元素。所有这些裁剪方式 （包括不裁剪和全裁剪掉）获得的点的集合就是Ω的所有子集，它们构成了Ω的幂集。 （这么说不严格，因为从集合中选出的元素并不一定有这样良好的连续性）。 那么S是什么东西呢？首先，S包括Ω和∅，也就是一张完整的拼图和空集都在S中。 如果S中没有其他元素了，这就是最小的σ代数，只有{Ω，∅} 如果还有别的元素，这些元素都是Ω的子集，都属于Ω的幂集，可以看成是Ω这张没有裁剪的拼图上 随意切下的块。任意两块的位置关系有两种：相交或是不相交。 一、如果相交，则两个块的交集也是一个拼图块，记为b，由性质3，这个块b也属于S。 二、如果这个块和S中其它块都没有交集，则可把这个块称为“基本块”。如果b和某个块有非空的交集， 并且交集真包含于b，那么我们取真包含于b的部分记为b'，对b'再做和b相同的讨论（可列次取真包含的部 分直至收敛到非空集合或无交集可取），使其成为一个基本块。 经过这样的过程，Ω被分割成了许多基本块拼成的拼图，这些基本块构成了集合Ω的一个分划。 现在我们来看S，S中的元素必然包含所有基本块（由二之构造），因此也必然包含这些基本块取并集并 出来的大块。举个简单的例子，如果这个Ω可以分为ABCD四个基本块，每一个块都是Ω的子集，则其S可 以包含这四个块两两之并，三三之并，以及Ω本身和∅。 **所以直观来看，S中的元素，就是在这样构造出来的拼图中随意选取一些（含0个和全部）基本块，再把这 些基本块并在一起形成的Ω的子集。**如果有时间还会再修改叙述不合适的地方。 |
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