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主要参考大佬博客:https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/86590498 欧拉图 欧拉图是在大家小学时学奥数都学习过的一个类型的题,无论你学得好不好,你都听过它的另外一个名字:一笔画问题; 一,首先来定义一下: 1.欧拉回路:图G的一个回路,如果恰通过图G的每一条边,则该回路称为欧拉回路,具有欧拉回路的图称为欧拉图。欧拉图就是从图上的一点出发,经过所有边且只能经过一次,最终回到起点的路径。 2.欧拉通路:即可以不回到起点,但是必须经过每一条边,且只能一次。也叫"一笔画"问题。 3.基图:基图是针对有向图的说法,是忽略有向图的方向得到的无向图。 4.欧拉图:存在欧拉回路的图。 欧拉回路一定要首尾相连,,通路不一定。 二.性质与定理 先说说有向图和无向图,显而易见,有向图就是有向的图,而无向图反之亦然。 呃,,此处及以下全转载至大佬博客:https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/75578102 性质与定理 定理1 无向图G为欧拉图,当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。 证明: 必要性 设图G的一条欧拉回路为C。由于C经过图G的每一条边,而图G没 有孤立点,所以C也经过图G的每一个顶点,G为连通图成立。而对于图G的任意一个顶点 v,经过C时都是从一条边进入,从另一条边离开,因此v经过C的关联边的次数为偶数。又由于C不重复地经过了图G的每一条边,因此 的度为偶数。 充分性 假设图G中不存在回路,而G是连通图,故 一定是G树,那么有|E|=|V|−1 |E|=|V|−1|E|=|V|-1由于图G所有顶点的度为偶数而且不含孤立点,那么图G的每一个顶点的度至少为2。 推论1 无向图G为半欧拉图,当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外, 其它所有顶点的度为偶数。 证明:将两个度为奇数的顶点连接,由定理一得该图为欧拉图,故去掉环上一边为半欧拉图。 定理2 有向图G为欧拉图,当且仅当G的基图连通,且所有顶点的入度等于出度。 推论2 有向图G为半欧拉图,当且仅当G的基图连通,且存在顶点u的入度比出度大1 、v的入度比出度小 1,其它所有顶点的入度等于出度。证明同定理1相似。 性质1 设C是欧拉图G中的一个简单回路,将C中的边从图G中删去得到一个新的图G ′ ′^{'},则 G ′ ′^{'}的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。 证明 若G为无向图,则图G ′ ′^{'}的各顶点的度为偶数;若G为有向图,则图 G ′ ′^{'}的各顶点的入度等于出度。 性质2 设 C1、C2是图G的两个没有公共边,但有至少一个公共顶点的简单回路,我们可以将它们合并成一个新的简单回路 。 三.如何判定(是不是欧拉回路/图) 以下全是我个人理解,完全依据于小奥的学习经验,不一定全对,有错请指出。 我说的尽量简单一点: 首先每一个点都有它的度:即与它相连的边的个数 我们把奇度的点称为奇点,反之偶点 根据奥数知识一句话则可以判断无向图是否是欧拉图:有0或2个奇点 但是对于有向图判断则复杂一些:每条边只经过一次而且每个点也只过一次 四。如何实现判定 下面用一道模板题来简述一下吧。附:欧拉树的题往往无法判断是图论题 见下: 题目描述给定n个各不相同的无序字母对(区分大小写,无序即字母对中的两个字母可以位置颠倒)。请构造一个有n+1个字母的字符串使得每个字母对都在这个字符串中出现。 输入输出格式 输入格式: 第一行输入一个正整数n。 以下n行每行两个字母,表示这两个字母需要相邻。 输出格式: 输出满足要求的字符串。 如果没有满足要求的字符串,请输出“No Solution”。 如果有多种方案,请输出前面的字母的ASCII编码尽可能小的(字典序最小)的方案 输入样例#1: 输出样例#1: 4 XaZtX aZ tZ Xt aX是不是很迷?但是附上代码你就会懂了。。。。 #include #include #include using namespace std; int a[500][500]; int du[200]; char lu[500]; void Find(int now) { for(int i = 'A';i >n; char x,y; for(int i = 1;i > x >> y; a[x][y] = 1; a[y][x] = 1; du[x] ++;//此处du数组记录了每个点的度数 du[y] ++; } for(int i = 'z';i >= 'A';-- i) { if(du[i] % 2==1) start = i,m ++;//m记录图中奇数度数点的个数,同时将起点start定为此点 } if(m != 0&&m != 2) {//由欧拉图的性质可得,如果一个图奇数度数点个数不为0或2则不存在欧拉路径 cout |
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