求解非线性方程组fsolve · python 学习记录

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求解非线性方程组fsolvescipy.optimize.fsolve参考求解非线性方程组fsolve

使用 scipy.optimize 模块的 fsolve函数进行数值求解线性及非线性方程，可以看到这一个问题实际上还是一个优化问题，也可以用之前拟合函数的 leastsq 求解。下面用这两个方法进行对比：

scipy.optimize.fsolve scipy.optimize.fsolve(func, x0, args=(), fprime=None, full_output=0, col_deriv=0, xtol=1.49012e-08, maxfev=0, band=None, epsfcn=None, factor=100, diag=None)

参数：

func：是个可调用对象，它代表了非线性方程组。给他传入方程组的各个参数，它返回各个方程残差（残差为零则表示找到了根） x0：预设的方程的根的初始值 args：一个元组，用于给func提供额外的参数。 fprime：用于计算func的雅可比矩阵（按行排列）。默认情况下，算法自动推算 full_output：如果为True，则给出更详细的输出 col_deriv：如果为True，则计算雅可比矩阵更快（按列求导） xtol：指定算法收敛的阈值。当误差小于该阈值时，算法停止迭代 maxfev：设定算法迭代的最大次数。如果为零，则为 100*(N+1)，N为x0的长度 band：If set to a two-sequence containing the number of sub- and super-diagonals within the band of the Jacobi matrix, the Jacobi matrix is considered banded (only for fprime=None) epsfcn：采用前向差分算法求解雅可比矩阵时的步长。 factor：它决定了初始的步长 diag：它给出了每个变量的缩放因子

返回值：

x：方程组的根组成的数组 infodict：给出了可选的输出。它是个字典，其中的键有： nfev：func调用次数 njev：雅可比函数调用的次数 fvec：最终的func输出 fjac：the orthogonal matrix, q, produced by the QR factorization of the final approximate Jacobian matrix, stored column wise r：upper triangular matrix produced by QR factorization of the same matrix ier：一个整数标记。如果为 1，则表示根求解成功 mesg：一个字符串。如果根未找到，则它给出详细信息

如果要求解方程：

{f1(u1,u2,u3)=0f2(u1,u2,u3)=0f3(u1,u2,u3)=0 \left\{\begin{array}{l} f 1(u 1, u 2, u 3)=0 \\ f 2(u 1, u 2, u 3)=0 \\ f 3(u 1, u 2, u 3)=0 \end{array}\right. ⎩⎨⎧f1(u1,u2,u3)=0f2(u1,u2,u3)=0f3(u1,u2,u3)=0 那么 func 这么定义：

def func(x): u1, u2, u3 = x return [f1(u1,u2,u3),f2(u1,u2,u3),f3(u1,u2,u3)]

案例1：

import scipy.optimize as opt import numpy as np def f(x): x0, x1, x2 = x return np.array([ 5*x1+3, 4*x0*x0-2*np.sin(x1*x2), x1*x2-1.5 ]) result = opt.fsolve(f, [1, 1, 1]) print("解：",result) print("各向量的值：",f(result))

结果：

解： [-0.70622057 -0.6 -2.5 ] 各向量的值： [ 0.00000000e+00 -9.12603326e-14 5.32907052e-15]

同样可以用最小二乘法 leastsq 求解上述问题

#拟合函数来求解 h = opt.leastsq(f,[1, 1, 1]) print("解：",h[0]) print("各向量的值：",f(h[0]))

结果：

解： [-0.70622057 -0.6 -2.5 ] 各向量的值： [ 0.00000000e+00 -2.22044605e-16 0.00000000e+00]

案例2：

如果给了Jacobian矩阵，那么迭代速度更快 Jacobian矩阵的定义是： [∂f1∂u1∂f1∂u2∂f1∂u2∂f2∂u1∂f2∂u2∂f2∂u2∂f3∂u1∂f3∂u2∂f3∂u2] \left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial f 1}{\partial u 1} & \frac{\partial f 1}{\partial u 2} & \frac{\partial f 1}{\partial u 2} \\ \frac{\partial f 2}{\partial u 1} & \frac{\partial f 2}{\partial u 2} & \frac{\partial f 2}{\partial u 2} \\ \frac{\partial f 3}{\partial u 1} & \frac{\partial f 3}{\partial u 2} & \frac{\partial f 3}{\partial u 2} \end{array}\right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡∂u1∂f1∂u1∂f2∂u1∂f3∂u2∂f1∂u2∂f2∂u2∂f3∂u2∂f1∂u2∂f2∂u2∂f3⎦⎥⎥⎥⎥⎤

import scipy.optimize as opt import numpy as np def obj_func(x): x0,x1,x2=x return [5*x1+3,4*x0*x0-2*np.sin(x1*x2),x1*x2-1.5] def jacobian(x): x0, x1, x2 = x return [ [0,5,0], [8*x0,-2*x2*np.cos(x1*x2),-2*x1*np.cos(x1*x2)], [0,x2,x1] ] result=opt.fsolve(obj_func,[1,1,1],fprime=jacobian) print("解：",result) print("各向量的值：",obj_func(result))

结果：

解： [-0.70622057 -0.6 -2.5 ] 各向量的值： [0.0, -9.126033262418787e-14, 5.329070518200751e-15] 参考【解方程】scipy.optimize.solve. python用fsolve、leastsq对非线性方程组进行求解 Update time： 2020-07-05

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