坐标变换那些事2：由Lame系数导出常见微分运算的通用表达

在上一篇中我们知道了如何求得任一正交曲线坐标系的Lame系数。以下我们将会从Lame系数出发，简单推导坐标系中常用的微分运算。注意，以下的推导暂未更新斜变逆变版本，我们将在下一篇中阐述更多。

定义为：标量场f在基矢方向的方向导数 从定义出发，我们有

\begin{aligned} \nabla f&=\sum_{i=1}^3{\hat{e}_i\frac{\partial f}{\partial l_i}}\\ &=\sum_{i=1}^3{\hat{e}_i\frac{\partial f}{h_i\partial q_i}} \end{aligned}

简记为

\nabla \phi=\frac{1}{h_i}\frac{\partial \phi}{\partial x_i}\hat{e}_i \tag{1.1}

定义为：单位体积内矢量场\vec{F}的通量大小 从定义出发，我们有

\nabla\cdot \vec{F}=\lim_{\Delta V\rightarrow0}\frac{\iint_A\vec{F}\cdot d\vec{A}}{\Delta V}

其中我们明确微元的定义为在新坐标系下

dA=h_ih_jdq_idq_j \quad dV=h_1h_2h_3dq_1dq_2dq_3

则代入上式得到

\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\sum_{i=1}^3{\frac{\partial}{\partial q_i}(F_i h_jh_k)} \tag{1.2}

由上文计算式（1.1）（1.2）直接得

\begin{aligned} \nabla^2&=\nabla\cdot\left(\sum_{i=1}^3{\hat{e}_i\frac{\partial}{h_i\partial q_i}}\right)\\ &=\frac{1}{h_1h_2h_3}\sum_{i=1}^3{\frac{\partial}{\partial q_i}\left(h_jh_k\frac{\partial}{h_i\partial q_i}\right)} \end{aligned} \tag{1.3}

定义为：矢量场\vec{F}在单位面积的边界上的有向环流量

(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=\lim_{\Delta A\rightarrow0}\frac{\oint_l{\vec{F}\cdot d\vec{l}}}{\Delta A}

此时选择面法向量为基矢\vec{n}=\hat{e}_i，则有

\oint_l{\vec{F}\cdot d\vec{l}}=\left(\frac{\partial}{\partial q_j}F_kh_k-\frac{\partial}{\partial q_k}F_jh_j\right)dq_jdq_k \tag{\#}

注：关于（#）式子的来由放到文末 此时仍然选取dA=h_jh_kdq_jdq_k，代入定义式则有

\begin{aligned} (\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{e}_i&=\frac{1}{h_jh_k}\left(\frac{\partial}{\partial q_j}F_kh_k-\frac{\partial}{\partial q_k}F_jh_j\right)\\ &=\frac{1}{h_1h_2h_3}\sum_{j,k}{\epsilon_{ijk}h_i\frac{\partial}{\partial q_j}(F_kh_k)} \end{aligned}

聪明的小伙伴应该一眼就能看出来这个形式对应了什么，我们展开来写一下(gather一下分量式)

\begin{aligned} \nabla\times\vec{F}&=\frac{1}{h_2h_3}\left[\frac{\partial(h_3F_3)}{\partial x_2}-\frac{\partial(h_2F_2)}{\partial x_3}\right]\hat{e}_1+\frac{1}{h_1h_3}\left[\frac{\partial(h_1F_1)}{\partial x_3}-\frac{\partial(h_3F_3)}{\partial x_1}\right]\hat{e}_2+\frac{1}{h_1h_2}\left[\frac{\partial(h_2F_2)}{\partial x_1}-\frac{\partial(h_1F_1)}{\partial x_2}\right]\hat{e}_3\\ &=\frac{1}{h_1h_2h_3} \left|\begin{aligned} h_1\hat{e}_1 &&h_2\hat{e}_2 &&h_3\hat{e}_3\\ \frac{\partial}{\partial x_1}&&\frac{\partial}{\partial x_2}&&\frac{\partial}{\partial x_3}\\ h_1F_1&&h_2F_2&&h_3F_3 \end{aligned}\right| \end{aligned} \tag{1.4}

这个东西可不像上面几个好求，不过也只有做流体的小朋友可能对这一项恨之入骨吧hhh。这里先卖个关子，直接给出结论，它的证明需要我们引入非常多其他的知识才能做到，我放到下面几篇来慢慢道来。

(\hat{e}_\tau\cdot\nabla)\hat{e}_\rho=-\frac{1}{h_\tau}(\nabla h_\rho)\delta_\tau^\rho+\frac{1}{h_\rho h_\tau}\frac{\partial h_\tau}{\partial x_\rho}\hat{e}_\tau \tag{1.5}

在总结部分，我们承上启下，引入几个下面篇章中需要使用的量来表示 定义 (其实大伙能看出来g其实是基矢空间模的平方项，在下一篇基矢的微分运算中会详细说明它的性质)

\sqrt{g}=h_1h_2h_3\equiv \mathbb{V}

则我们总结为

\begin{aligned} \text{Grad:} \quad&\nabla \phi=\frac{1}{h_i}\frac{\partial \phi}{\partial x_i}\hat{e}_i\\ \text{Div:}\quad&\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{i=1}^3{\frac{\partial}{\partial q_i}(F_i \frac{\sqrt{g}}{h_i})}\\ \text{Curl:}\quad&\nabla\times\vec{F}=\frac{1}{\sqrt{g}} \left|\begin{aligned} h_1\hat{e}_1 &&h_2\hat{e}_2 &&h_3\hat{e}_3\\ \frac{\partial}{\partial x_1}&&\frac{\partial}{\partial x_2}&&\frac{\partial}{\partial x_3}\\ h_1F_1&&h_2F_2&&h_3F_3 \end{aligned}\right|\\ \text{Laplace:}\quad&\nabla^2\phi=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{i=1}^3{\frac{\partial}{\partial q_i}\left(\sqrt{g}\frac{\partial}{{h_i}^2\partial q_i}\right)} \end{aligned}

需要注意的是，我们计算中所有的h_i其实都是会随着坐标变化的，所以在求偏导时，在括号里和括号外的区分要格外小心哦。

\oint_l{\vec{F}\cdot d\vec{l}}=\left(\frac{\partial}{\partial q_j}F_kh_k-\frac{\partial}{\partial q_k}F_jh_j\right)dq_jdq_k \tag{\#}

其实这个证明有点倒推的意思，因为要得到（#）式子等于是要反向推导一遍（x

对LHS应用Stokes定理得

\oint_l\vec{F}\cdot d\vec{l}=\iint_A{(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A}}

我们从分量式出发，有

(\nabla\times\vec{F})_i=\epsilon_{ijk}\frac{\partial F_k}{\partial x_j}\hat{e}_i

这里还是备注一下\epsilon_{ijk}=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text{指标任一重复} \\ 1 & \text{123 cycle} \\ -1 & \text{132 cycle} \end{array}\right.

且利用h_i定义h_i=\frac{\partial x_i}{\partial q_i}

代入LHS则有

\begin{aligned} \oint_l\vec{F}\cdot d\vec{l}&=\iint_A{\epsilon_{ijk}\frac{\partial F_k}{\partial x_j}h_jh_kdq_jdq_k}\\ &=\iint_A\left(\frac{\partial F_k}{\partial q_j}\frac{\partial q_j}{\partial x_k}-\frac{\partial F_j}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial x_j}\right)h_jh_kdq_jdq_k\\ &=\left(\frac{\partial}{\partial q_j}F_kh_k-\frac{\partial}{\partial q_k}F_jh_j\right)dq_jdq_k \end{aligned}\\ \boxed{(\#)}

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