PID控制器的传递函数推导

1、传递函数的定义

传递函数：零初始条件下，线性系统响应（即输出量）的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入量）的拉普拉斯变换之比。记作： G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) G_{(s)}=\frac{Y_{(s)}}{U_{(s)}} G(s)​=U(s)​Y(s)​​,其中 Y ( s ) , U ( s ) Y_{(s)},U_{(s)} Y(s)​,U(s)​分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。

2、PID控制的时域函数

U ( t ) = K p ( e ( t ) + ∫ 0 t e ( t ) T i d t + T d d e ( t ) d t ) U_{(t)}=K_{p}(e_{(t)}+\int_{0}^{t}\frac{e_{(t)}}{T_{i}}dt+T_{d}\frac{de_{(t)}}{dt}) U(t)​=Kp​(e(t)​+∫0t​Ti​e(t)​​dt+Td​dtde(t)​​)

3、PID的传递函数

G ( s ) = U ( s ) E ( s ) G_{(s)}=\frac{U_{(s)}}{E_{(s)}} G(s)​=E(s)​U(s)​​

这里 U ( s ) U_{(s)} U(s)​就是对 U ( t ) U_{(t)} U(t)​的拉普拉斯变换， E ( s ) E_{(s)} E(s)​是对输入量e(t) (关键就在于这个e(t)它是输入量而且输出量是关于e(t)的函数) 的拉普拉斯变换，首先定义 L ( e ( t ) ) = F ( s ) L(e_{(t)})=F_{(s)} L(e(t)​)=F(s)​则根据拉普拉斯变换的线性性质

L ( U t ) = L ( K p e ( t ) ) + L ( K p ∫ 0 t e ( t ) T i d t ) + L ( K p T d d e ( t ) d t ) L(U_{t})=L(K_{p}e_{(t)})+L(K_{p}\int_{0}^{t}\frac{e_{(t)}}{T_{i}}dt)+L(K_{p}T_{d}\frac{de_{(t)}}{dt}) L(Ut​)=L(Kp​e(t)​)+L(Kp​∫0t​Ti​e(t)​​dt)+L(Kp​Td​dtde(t)​​)

对于上式等式右边第一项由定义可得

L ( K p e ( t ) ) = K p F ( s ) L(K_{p}e_{(t)})=K_{p}F_{(s)} L(Kp​e(t)​)=Kp​F(s)​

第二项由拉普拉斯变换的积分性质可得

L ( K p ∫ 0 t e ( t ) T i d t ) = K p F ( s ) T i s L(K_{p}\int_{0}^{t}\frac{e_{(t)}}{T_{i}}dt)=\frac{K_{p}F_{(s)}}{^{T_{i}}s} L(Kp​∫0t​Ti​e(t)​​dt)=Ti​sKp​F(s)​​

第三项由拉普拉斯变换的微分性质可得（f(0)=0）

L ( K p T d d e ( t ) d t ) = K p K d s F ( s ) L(K_{p}T_{d}\frac{de_{(t)}}{dt})=K_{p}K_{d}sF_{(s)} L(Kp​Td​dtde(t)​​)=Kp​Kd​sF(s)​

所以右等式可化为

L ( U t ) = K p F ( s ) ( 1 + 1 T i s + T d s ) L(U_{t})=K_{p}F_{(s)}(1+\frac{1}{T_{i}s}+T_{d}s) L(Ut​)=Kp​F(s)​(1+Ti​s1​+Td​s)

则传递函数为

G ( s ) = K p F ( s ) ( 1 + 1 T i s + T d s ) F ( s ) G_{(s)}=\frac{K_{p}F_{(s)}(1+\frac{1}{T_{i}s}+T_{d}s)}{^{F_{(s)}}} G(s)​=F(s)​Kp​F(s)​(1+Ti​s1​+Td​s)​

也即

G ( s ) = K p ( 1 + 1 T i s + T d s ) G_{(s)}=K_{p}(1+\frac{1}{T_{i}s}+T_{d}s) G(s)​=Kp​(1+Ti​s1​+Td​s)

写这个博客只为加深自己对于传递函数和拉普拉斯变换的理解，我一开始迷糊的地方就在于这个传递函数是怎么一下子得到了只关于s的函数，其实中间存在被约掉的F(s)。我钻的牛角尖在于只看定义却忘记了运用拉普拉斯变换的性质，其实微分性质、积分性质的运用可以很大限度的简化计算量，因为变换消掉了时域函数的微积分项，这也是要对时域函数做变换的理由 (像我这样转不过弯的总以为这样变换是更复杂了，因为变换后的域是看不见也摸不着，我很难把它跟原有函数做联系，总也理解不了频域的信息跟时域的有毛关系)。