2x麦克劳林公式

在考研数学中，泰勒公式是一个非常重要的考点，尤其在无穷级数和求极限部分，因此十分有必要将几个常用的麦克劳林展开式熟记于心。本文为读者介绍了麦克劳林公式的简单记忆方法，以及泰勒公式在应用时应当注意的规则。

一、函数展开成泰勒级数的充要条件

设f(x)在x0的某个领域内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是当阶数无穷大时f(x)的泰勒公式中的余项趋向0，此时函数f(x)可以展开为泰勒级数：

二、麦克劳林级数

函数在x0=0处的泰勒级数称为麦克劳林级数，也称为麦克劳林展开式。常用的麦克劳林展开式有如下：

图片来源：张宇《高等数学十八讲》

三、常用的麦克劳林展开式的记忆技巧

以上几个展开式可以函数图像的“变化率”为依据分两类(左边图像增长趋势平缓，右边有点指数爆炸的感觉)：

趋势平缓的，其展开式一定为“+、-”相间；

爆炸性趋势的，其展开式均为“+”。

左边那部分：

右边那部分：

四、麦克劳林公式的应用规则

在求无穷小极限的时候，往往有一个顾虑：到底该展开到几阶？

        答：展开到“分子分母”同阶，即展开泰勒公式化简后分子分母最低次幂的幂数相同。

        另一个万能展开法是展开到五阶，基本上秒杀99%考研极限题。但这样做缺点是合并同类项时的计算量有点大。

下面我们看几道经典例题巩固一下：

答案：n=2，a=7

答案：1/6 。

答案：如上。

参考文献

[1]同济大学数学系主编,《高等数学》(上册)(第七版)[M],高等教育出版社，2014(07): 137-140.

[2]5个题彻底搞懂泰勒公式应该展开到多少阶

https://www.bilibili.com/video/BV1E7411E7k1/?spm_id_from=trigger_reload

[3]麦克劳林公式快速记忆方法

https://www.bilibili.com/video/BV18J411h7U1

*作者注：接下来公众号会更新一些考研数学中的实用小技巧，希望是能让一切繁琐问题都有其猥琐解法