微分符号 dx、dy 表示什么含义？

对于微分dx, dy的理解应该算是一个很深刻的问题。其他答主有使用层论中的茎来定义的，这里我就不再重复了。利用茎来定义的解释，我在另一个问题中有通俗地讲解过。可以看这个链接：

这里我打算用另外的方法来定义dx，为了方便一些太长不看的人，我先把结论放在这里，

\mathrm dx=\overline{1\otimes x-x\otimes 1}

我不知道这种定义方法是不是更加本质，但是在适用范围上一定更加广泛。我们先从不同的视角审视一下微分算子 d . 微分和导数的概念在历史上应该是同时产生的，二者也具有一样的运算性质，也就是莱布尼兹法则。我们在使用微分算子计算的时候，基本上也只用到了莱布尼兹法则，所以，微分算子更一般的定义应该是满足莱布尼兹法则的算子。那么，为什么还会有利用函数芽或者茎的零化子来定义的方式呢？这是从所有满足莱布尼兹法则的算子中挑选出了一个特殊的微分算子，将这个算子和导数联系了起来，也就是 df|_q 是所有与 f 在 q 点导数相同的函数的集合，也就是 f 和 g 只要在任何方向上都相切，我们就忽略掉它们的其他区别，而只保留它们的共性：一阶微分等价性。这种微分被称为外微分。而其他的微分算子不一定和导数是一致的。我们分析一下函数的微分 df , f 是拓扑空间 X 上的一个开集 U 到数域 \mathbb R \;\text{or}\;\mathbb C 中的光滑函数，那么 f+g 也是这样的函数， fg 同理，这表明，拓扑空间 X 一个开集 U 上的光滑函数可以构成一个环 \mathcal O_X(U) , 之所以不能构成一个域，因为函数 f 不一定存在乘法逆元。然后所有 df 同样生成一个空间，比如 f_1dg_1+f_2dg_2+\cdots , 这个空间是一个 \mathcal O_X(U) 的模 M , 模的定义就是在一个交换群上定义一个数乘（可以看做线性空间的推广）， fm_1+gm_2\in M . 那么，我们自然可以推广微分算子的定义，微分算子应该就是一个态射，将交换环 A 中的元素映射到模 N ， d(a)=n, a\in A,n\in N 并且满足莱布尼兹法则： d(fg)=f\,d(g)+g\,d(f) .

但是正如刚才所言，满足这样条件的微分算子有很多。但是，所有的微分算子，其实都是某一个微分算子的表示。我们就来构造一个特殊的模和微分算子。给定一个交换环 A 和交换环 R , 他们之间存在一个态射 p: R\to A . 在这个态射下交换环 A 就变成了一个 R 代数。也就是说， A 自身具有乘法 ab\in A, \forall a,b\in A ，并且还可以定义数乘 r a:=p(r)a\in A, \forall r\in R, a\in A . 还可以我们考虑环的扩张 A\otimes_R A ， 直积的定义是 ra\otimes b=a\otimes rb \in A\otimes_R A, \forall a,b\in A, r\in R .(实际上我们并不需要专门去寻找一个R,因为其实任何环 A 都是整数环 \mathbb Z 的模) ， 那么在 A\otimes_R A 上自然可以做乘法 (a\otimes b)(c\otimes d)=ac\otimes bd . 存在两个自然的态射 \tau_1, \tau_2: A\to A\otimes_R A , \tau_1(a)=a\otimes 1, \tau_2(a)=1\otimes a . 在这两个态射下我们可以将 A\otimes_R A 看成是 A 模，可以用两种方式来定义数乘： a\cdot(b\otimes c)=(a\otimes 1)(b\otimes c) 或者 a\cdot(b\otimes c)=(1\otimes a)(b\otimes c) . 这两种数乘定义并不等价。

进一步，我们考虑一个利用 A 的乘法定义的自然态射： \mu:A\otimes_R A\to A := a\otimes b\to ab . 这个态射是满射，因为 a\otimes 1\to a,\forall a\in A 但是却不是单射，因为 a\otimes 1\to a, 1\otimes a\to a, 所以我们可以考虑空间 \mathfrak I= \ker \mu , 可以证明， \ker \mu 可以由所有形如 1\otimes t-t\otimes 1 的元素生成。即任意 x\in \ker \mu , x=\sum_i(a_i\otimes b_i)(1\otimes t_i-t_i\otimes 1) . 很明显， \mathfrak I 是一个理想，即任意 (a\otimes b) (x)\in \mathfrak I, \forall x\in \mathfrak I 。所以 \mathfrak I^2 也是。那么我们考虑空间 \mathfrak I/\mathfrak I^2 , 在这个空间上，用 \tau_1,\tau_2 分别的定义的数乘没有区别，因为 (\tau_1(a)-\tau_2(a))(1\otimes t-t\otimes 1)=(a\otimes1-1\otimes a)(1\otimes t-t\otimes 1)\in \mathfrak I^2

所以 \mathfrak I/\mathfrak I^2 是自然的 A 模。于是，我们定义 da=\overline{1\otimes a-a\otimes 1} \\=1\otimes a-a\otimes 1+\mathfrak I^2 \in\mathfrak I/\mathfrak I^2 , 证明莱布尼兹律： d(ab)=1\otimes ab-ab\otimes 1+\mathfrak I^2\\ =(1\otimes b)(1\otimes a-a\otimes 1)+(a\otimes 1)(1\otimes b-b\otimes 1)+\mathfrak I^2\\=b(1\otimes a-a\otimes 1+\mathfrak I^2)+a(1\otimes b-b\otimes 1+\mathfrak I^2)\\ =b\,d(a)+a \,d(b)

然后，我们就得到了一个不依赖于任何微分性质(因为我们还没有定义过微分性质)，只依赖于代数性质的通用微分算子 d . 然后，对于任意的 A 模 N , 假设有一个微分算子 D , 我们都可以找到一个 \mathfrak I/\mathfrak I^2\to N 的同态 \psi ，使 D=\psi\circ d . 比如 A 如果由 t_i, i\in I 生成，那么很明显 dt_i\to Dt_i 就可以给出 \psi 的表达式。

我们在补充说明一下上述定义过程中 R 的作用，我们为什么要额外取一个环 R 来构造张量积 A\otimes_R A,而不是直接使用 A 的结构，也就是 A\otimes_A A ? 注意， 这样会给出一个平凡的微分算子。因为对于任意 a\otimes b\in A\otimes_A A ，都有 a\otimes b=ab\otimes 1=1\otimes ab=ab(1\otimes 1) , 所以这成了一个一维的张量空间，于是 1\otimes a-a\otimes 1=0 ，所以 d(a)=0,\forall a\in A . 实际上， R 就决定了一种等价条件。因为 d(p(r))=\overline{1\otimes p(r)-p(r)\otimes 1}=r\overline{1\otimes 1-1\otimes 1}=0, \forall r\in R 所以算子 d 对于R 来说是线性的 d(ra)=rd(a), \forall r\in R,a\in A . 这样，如果我们想把一部分 A 中的元素 微分后等于0， 我们就取 R 是这部分构成的子环。下面给出具体例子。

回到光滑函数环的例子， 取R=\mathbb R\,\text{or}\,\mathbb C, A=\mathcal O_{X}(U), N=M 我们就得到一种 df 的定义。如果我们相让微分算子与一阶导数兼容，我们就可以取 R 是由所有在 q 点一阶导数等于 0 的光滑函数构成。也就是对于任意过 q 点的光滑曲线 \gamma(\theta), 满足 \gamma(0)=q , \frac{d}{dt}f(\gamma(t))|_{t=0}=0 ,有 f\in R , 很明显这是一个环，因为两个函数相加在这一点导数仍然为0， 两个函数相乘导数也为0. 很明显，我们有 df=0 . 这正是我们想要的。所以，如果 df=dg , 说明 f-g 在q点的导数相容，这个微分d就只保留了一阶微分等价性。严格的说，我们定义了 df|_q, 然后 q\to df|_q 就是 df .

为什么我们一定要先构造一个模呢？比如，在光滑函数环的例子，我们仅仅是在一个开集上定义了微分算子，实际上我们是希望在整个拓扑空间上定义一个全局的微分算子。这样，我们就需要取一个开覆盖，然后在每一个开集中定义微分算子，再证明这样的局域算子与光滑函数层兼容，也就是可以把局域算子合并成一个整体算子。这个过程是相当麻烦的。但是，这个合并的过程，并不影响任何微分的运算，因为在每一个开集上，实际上都是 dt=\overline{1\otimes t-t\otimes 1} 这样一个过程。所以我认为这个过程才是比较本质的，它只利用了 A 自身的代数性质。

再啰嗦几句。很多答主在考虑微分算子d的性质的时候，居然把 d^2=0 作为一个性质。其实 df 的定义完全不依赖于这个性质，二者是独立的。在定义外微分代数的时候，一共有三条性质，微分、外积、dd=0。算子 d 是将 \Omega^n 映射到 \Omega^{n+1} ,也就是将n形式映射到n+1形式，0形式就是光滑函数，外积是将 dxdy 变为 dx\wedge dy 。 ddf 我们发现，没有额外定义的话， df 根本不在 d 的定义域中。并且，为了将 d 与导数关联起来， df 的定义是很不平凡的，我们在普通微积分中有 \frac{d^2f}{dx^2}=f'' , 而对于自变量 d^2x=0 其实是说明 dx 的一阶微分等价性，这说明 d^2f=0 并不是通用的性质。 然后，如果定义了 df , 再定义反对称的外积，然后再加上 d^2=0 ，就唯一确定了整个外微分空间上的算子 d .