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0 克莱姆法则
一个排列中:小的在前,大的在后——这一对数组成一个顺序; 反之则为逆序 1.2 逆序数一个排列中逆序的个数,称之为数 1.3 奇排列与偶排列逆序数为奇数的排列——奇排列 逆序数为奇数的排列——偶排列 1.4 对换和对换的性质对换:将排列中的两个数对换位置 性质1:对换改变排列的奇偶性 性质2:任意n元排列和排列12345…n可以经过一系列对换互相转化,而且所作对换的次数和这个n元排列有着相同的奇偶性 2 N阶行列式 2.1 N阶行列式的完全展开式三阶行列式:从左上到右下的乘积之和,减去另一个方向的乘积之 n阶行列式 是n!项的代数和,其中每一项都是位于不同列不同行的n个元素的乘积,把这n个元素按照行指标排成自然序排好位置,当列指标所成排列是偶排列的时候,该项带正号,否则带负号,即: 行列式的值等于它的主对角线上n个元素的乘积 性质1:行和列互换,行列式值不变,也就是一个矩阵的行列式和这个矩阵的转置的行列式值是一样的(即det( 性质2:行列式一行/一列的公因子可以提取出来 性质3:两行互换,行列式反号 性质4:两行相同(成比例),行列式值为0 证明:相同的两行互换就可以了,那么就是自己=自己的相反数 性质5:把一行的倍数加到另一行上,行列式的值不变 性质6:单位矩阵的行列式为1 性质7:某一行的公共倍数可以提出来 性质8:行列式非零矩阵可逆 性质9:det(AB)=det(A)det(B) n阶行列式中,划去第i行和第j列,剩下的元素按照原来的次序组成的n-1列行列式称为(i,j)元的余子式,记作Mij 令Aij=(-1)^(i+j)Mij——代数余子式 ![]() n阶行列式的值等于它的第i行(列)元素和其代数余子式的乘积之和 n阶行列式的第i行元素和第k行(k≠i)相应元素的代数余子式的乘积之和等于0 2.5 行列式按照k行(列)展开 2.5.1 余子式和代数余子式n阶行列式中任意选定k行k列,位于这些行和列(第i1,i2,…..ik行;第j1,j2,j3,…..jk列)的交叉处的k^2个元素按照原来的排法组成k阶行列式,这称为|A|的一个子式 划去这些行,这些列,剩下的元素组成的n-k阶行列式——余子式 (-1)^(i1+i2+……+ik+j1+j2+……+jk) *余子式——代数余子式 2.5.2 拉普拉斯定理在n阶行列式|A|中,取定k行:(i1,i2,……ik),这k行元素形成的所有k阶子式和他们自己的代数余子式的乘积之和等于|A|(列一样) 2.6 求解行列式(举例)我们令N元线性方程组的系数矩阵为A,增广矩阵为A‘ A和A'经过变换后,变成阶梯矩阵A,A' n个方程的n元线性方程组,如果他的系数行列式|A|≠0,那么它有唯一解;如果它的系数行列式|A|=0.那么它无解或者有无穷多解 其中Bj为 通过克莱姆法则,我们有如下性质: n个方程的n元齐次线性方程组只有零解的充要条件式它的系数行列式不为0。 n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的行列式为0 5 行列式的几何意义:行列式 两阶行列式的绝对值:两个向量张成的平行四边形的面积 三阶行列式的绝对值:三个向量章程的平行四面体的体积 |
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