标准单位向量与基础矩阵

nnn维标准单位列向量是指下列nnn个nnn维列向量：

e1=(10⋮0),e2=(01⋮0),⋯ ,en=(00⋮1)e_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix},e_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix},\cdots,e_n = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix} e1​=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​10⋮0​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​,e2​=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​01⋮0​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​,⋯,en​=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​00⋮1​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​

向量组e1T,e2T,⋯ enTe_1^T,e_2^T,\cdots\,e_n^Te1T​,e2T​,⋯enT​则被称为nnn维标准单位行向量，标准单位向量有下列基本性质：

nnn阶基础矩阵(又称初级矩阵)是指n2n^2n2个nnn阶矩阵Eij(i,j=1,2,⋯ ,n){E_{ij}(i,j=1,2,\cdots,n)}Eij​(i,j=1,2,⋯,n).这里EijE_{ij}Eij​是一个nnn阶矩阵，它的第(i,j)(i,j)(i,j)元素等于111，其他元素全为000. 基础矩阵也可以看成是标准单位向量的积:

Eij=eiejTE_{ij} = e_ie_j^T Eij​=ei​ejT​

由此, 我们不难证明基础矩阵的下列性质:

A=∑i,j=1naijEijA=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}E_{ij} A=i,j=1∑n​aij​Eij​