固有频率公式的单位换算

\omega=\frac{n^{2} \pi^{2}}{l^{2}}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}

上式为求解简支梁固有频率时用到的公式。

然而，在计算时遇到了单位换算的问题，使得计算结果不正确甚至相差几个数量级。

本文旨在明确公式中的单位换算。

首先，明确一下公式中各个符号代表的含义及其单位。

其中， \omega 代表频率，单位为 Hz； l 代表简支梁的长度，单位为m； E 代表材料的弹性模量，单位为Pa； I 代表截面惯性矩，单位为 m^{4} ； \rho 代表材料密度，单位为 kg/m^{3} ；A代表截面面积，单位为 m^{2} 。

其次，等号的左边频率\omega=1/T ，因此Hz换算为国际基本单位为 1/s 。

接着，等号右边分为 \frac{n^{2} \pi^{2}}{l^{2}} 以及 \sqrt{\frac{EI}{\rho A}} 两部分进行换算，其中，\frac{n^{2} \pi^{2}}{l^{2}}分子项无单位， l 为长度单位，因此这部分换算为国际基本单位为 1/m^{2} 。

到此为止，都比较好理解，比较令我费解的部分在于 \sqrt{\frac{EI}{\rho A}} ，也是本文想要明确的内容。

我们知道，P=F/A，因此Pa单位换算为N/m2。

由此， \sqrt{\frac{EI}{\rho A}} 式中根号内得到的单位就是N*m3/kg。

那么，N和kg之间单位是怎么换算的呢？

我们知道牛顿第二定律F=ma，其中，F代表力，单位为N；m代表质量，单位为kg；a为加速度，单位为m/s2。推得N的单位换算为kg*m/s2。

可以得到 \sqrt{\frac{EI}{\rho A}} 单位换算为m2/s。

最终我们可以得到等式右边的单位换算也为1/s。

大功告成！

笔者在初步推导N与kg之间换算时遇到了麻烦，将1kg当作9.8N来做了数值上的转换 :(