Jordan 型矩阵的幂

为了降低门槛，本文采用矩阵的语言叙述。

我们知道 n 阶（复）矩阵往往可以对角化，也就是对于 n 阶矩阵 A, 构造可逆矩阵 P 使得

P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\right\}.

其中 \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n 是 A 的特征值。为什么要研究这个问题呢？首要的应用是解决矩阵多项式的计算问题。

通常矩阵的乘法是复杂的，而矩阵的幂就更是这样了。注意到

A^n=P\left(P^{-1}AP\right)^nP^{-1},

如果能找到合适的矩阵 P 使得 P^{-1}AP 的幂是简单的，就找到了计算矩阵的幂乃至多项式的简便方法。例如计算对角矩阵的幂只需对分量求幂，这就非常简单。

但是并非所有的 n 阶矩阵都可以对角化，经过复杂的论证，得知 n 阶矩阵一定有 Jordan 标准型，也就是对于 n 阶矩阵 A, 构造可逆矩阵 P 使得

P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left\{J_1,J_2,\cdots,J_s\right\}.

其中 J_1,J_2,\cdots,J_s 是 Jordan 块。所谓特征值为 \lambda 的 n 阶 Jordan 块，就是 n 阶矩阵

J_n\left(\lambda\right)=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0&0\\0&\lambda&1&\cdots&0&0\\0&0&\lambda&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&\lambda&1\\0&0&0&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix}.

特别地，对于矩阵 A 可对角化的情形，相应的 Jordan 块 J_1,J_2,\cdots,J_s 均为一阶的。

Jordan 型矩阵的幂也是相对简单的。不过 Jordan 标准型的意义不仅于此，我们证明对于任意 k\in\mathbb N^* 和 \lambda\in\mathbb C, 当 \lambda\ne 0 时，矩阵 \left(J_n\left(\lambda\right)\right)^k 的 Jordan 标准型是 J_n\left(\lambda^k\right).

不加证明地给出一个结论。在 n 阶矩阵 A 的 Jordan 标准型中，属于特征值 \lambda 的 Jordan 块的数目为 n-\mathrm{rank}\left(A-\lambda E\right). 当然，这也是 A 的特征值 \lambda 的几何重数。

计算 \left(J_n\left(\lambda\right)\right)^k. 注意到 J_n\left(\lambda\right)=\lambda E+J_n\left(0\right), 而 \lambda E 的幂和 J_n\left(0\right) 的幂都是容易计算的。应用二项式定理，得到

\left(J_n\left(\lambda\right)\right)^k=\begin{pmatrix}\lambda^k&k\lambda^{k-1}&\cdots&\mathrm{C}_k^{n-1}\lambda^{k-n+1}\\0&\lambda^k&\cdots&\mathrm{C}_k^{n-2}\lambda^{k-n+2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda^k\end{pmatrix}.

记 B=\left(J_n\left(\lambda\right)\right)^k-\lambda^kE, 只需证明 \mathrm{rank}\,B=n-1.

当 \lambda\ne 0 时，矩阵 B 的行列式为零，且将矩阵 B 划去第 n 行第 1 列所得 n-1 阶子式的行列式为 \left(k\lambda^{k-1}\right)^{n-1}, 不为零。