Morse理论

本文将是对有限维Morse理论的一个大致介绍以及部分应用。

设$X$是一个$n$维光滑流形，$f\colon X\to\mathbb{R} $是一个光滑函数。

1.1 定义. 我们称$p\in X$是$f$的一个临界点，若$\mathrm{d} f_p =0$. 若$p$是$f$的一个临界点，我们称$p$是非退化的，若$\mathrm{d}^2 f_p $是非退化矩阵. 函数$f$称为一个Morse函数，若$f$的所有临界点都是非退化的.

对于这样一个函数$f$，我们自然地有

1.2 引理(Morse). 设$f$是一个Morse函数，并且$p$是$f$的一个非退化临界点，那么存在$p$的一个开邻域$U_p $和一个微分同胚$\phi\colon\mathbb{B}^n (0;1)\to U_p$满足$$f\circ\phi (x)=\sum_{i=1}^k x_i^2 -\sum_{i=k+1}^n x_i^2 +f\circ\phi (0)\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}$$通过Morse引理，我们立刻得到

1.3 推论. 对任何一个流形$X$上的Morse函数$f$，$f$的奇点都是孤立临界点.

引理1.2的证明 我们可以很容易地选取一个$p$的开邻域$U_p$满足$U_p$通过映射$\psi $同胚于欧式空间$\mathbb{R}^n$. 我们可以对$f\circ\psi $ 在$x=0$处做泰勒展开到二阶得到$$f\circ\phi (x)=f\circ\phi (0)+\diff^2 (f\circ\phi )_0(x,x)+R(x)$$其中$R(x)=O(\vert x\vert^3)$. 现在我们要做的就是选取另一个微分同胚$\psi\colon\mathbb{R}^n (0;1)\to\mathbb{B}^n (0;1)$使得$R(x)$在这个微分同胚下消失。为了做到这个，我们使用 Arnold[1]里面的“同伦方法”。记$Q(x)=f\circ\phi (x)-R(x)$并且考虑函数族$\{f\circ\phi (x)-tR(x)=\varphi_t (x)\}_{0\leq t\leq 1} $，那么我们知道这个函数族给出了从$f\circ\phi (x)$到$Q(x)$的一个“同伦”. 这样，我们只需要寻找$0$附近的一个开邻域$U$以及一族嵌入$\Phi_t\colon U\to\mathbb{R}^n $满足$\varphi_t\circ\Phi_t (x)=f\circ\phi (x)$并且$\Phi_t (0)\equiv 0$即可。为了找到这样的一族嵌入（我们假设这个嵌入是光滑的），我们可以将它们想象成是一个向量场$X_t$给出的一个流，从而对等式$f\circ\phi (x)=\varphi (x)=\varphi_t\circ\Phi_t (x)$两端对$t$求偏导得到$$\dot{\varphi}_t\circ\Phi_t +(X_t\varphi_t)\circ\Phi_t =0$$因此我们只需要寻找这样的一个向量场$X_t $. 注意到这样的向量场只需要在$0$附近局部定义即可，因此我们考虑$0$处的光滑函数芽$C^{\infty }_0 (\mathbb{R}^n )$，这是一个局部环，我们记它的极大理想是$\mathfrak{m}_0 $，则我们有

1.4 引理(Hadamard). $\mathfrak{m}_0 $由坐标函数$\{x_i\vert 1\leq i\leq n\}$生成.

证明 对于任何一个在$0$的一个邻域$V_0$附近定义的光滑函数$f$，我们只需要证明$f(0)\neq 0\Rightarrow [f]$在$C_0^{\infty } (\mathbb{R}^n )$中可逆. 这是因为如果$f(0)\neq 0$，那么存在$0$的一个邻域$W_0\subset V_0$满足$f(x)\neq 0,\ \forall x\in W_0 $，因此在$W_0 $里面函数$g(x)=\frac{1}{f(x)} $也是一个$C_0^{\infty } (\mathbb{R}^n )$中的光滑函数并且满足在$W_0 $中有$fg=1$，因此$f$可逆. $\square $

根据定义 ，我们就有$\varphi (x)-f\circ\phi (0)\in\mathfrak{m}_0 $，$Q(x)-f\circ\phi (0)\in\mathfrak{m}_0^2 $以及$R(x)\in\mathfrak{m}_0^3 $. 对于任何一个函数$[g]\in C^{\infty }_0 (\mathbb{R}^n )$满足$0$是$g$的奇点，我们可以定义$g$的Jacobi理想为$\mathfrak{J}_g =\langle\partial_1 g,\partial_2 g,\dotsb ,\partial_n g\rangle $. 在我们这个情形下，有

1.5 引理. 如果$0$是$g$的非退化临界点，那么$\mathfrak{J}_g =\mathfrak{m}_0 $.

证明 由反函数定理，$\diff^2 g_0 $非退化意味着$(x_1 ,x_2 ,\dotsb ,x_n )\to (\partial_1 g,\partial_2 g,\dotsb ,\partial_n g)$有一个逆映射，因此我们可以把$x_i $用$\partial_j g$线性表达，从而$\mathfrak{J}_g =\mathfrak{m}_0 $. $\square $

要构造出向量场$X_t $，我们只需要对任意给定的元素$[g]\in\mathfrak{m}_0 $寻找向量场$X_t^g $满足$X_t^g (0)=0$并且$X_t^g (\varphi_t )=g$. 由于$\mathfrak{m}_0 =\langle x_i\rangle $，我们只需要构造$X^{x_i }_t $即可. 注意到$0$是$\varphi $的非退化临界点，因此由引理1.5我们知道$\mathfrak{J}_{\varphi } =\mathfrak{m}_0 $，因而$x=A\nabla\varphi $对某些$C^{\infty }_0 (\mathbb{R}^n )$-值矩阵$A$. 又由$$x=A\nabla\varphi =A\nabla (\varphi_t+tR)=A\nabla\varphi_t +At\nabla R$$并且$R\in\mathfrak{m}_0^3 $，因而$\nabla R\in (\mathrm{m}_0^2 )^n $，从而存在$\mathfrak{m}_0 $-值矩阵$B$满足$\nabla R=Bx$，故我们有$(1-tAB)x=A\nabla\varphi_t $. 因为$AB$是$\mathfrak{m}_0 $-值矩阵，在局部环$(C_0^{\infty } (\mathbb{R}^n ),\mathfrak{m}_0 )$中我们有$\det (1-tAB)$可逆，因此$1-tAB$可逆. 向量场$X_t^x =(1-tAB)^{-1} A\nabla$即为所求. $\square$

1a) Morse函数的一般性. 接下来我们讨论Morse函数的存在性（以及一般性）. 存在性的证明有非常多种，我们在这里选取一个相对更加直观的证明. 设$f$是任何一个流形$X^n$上的光滑函数，那么它的微分$\diff f$自然给出了一个光滑映射$X\to T^{\ast} X$. 事实上，这是一个截面，并且$f$的临界点就是交集$\diff f(X)\cap X$. 自然地，我们有

1.6 引理. $f$是一个Morse函数当且仅当$\diff f(X)$跟$X$斜交(Transversal).

因而通过斜交定理，我们立刻知道流形$X$上所有Morse函数$f$的集合在$C^{\infty } (X;\mathbb{R} )$（赋予$C^{\infty} $-拓扑）中稠密并且开. 关于斜交相关的性质可以在Wall[2]上面找到。这就是Morse函数的一般性。

1b) 例子. 我们来讨论一些Morse函数的例子. 设$X^n $是一个紧致光滑流形，则由Whitney嵌入定理，我们知道$X^n$能够嵌入到欧式空间$\mathbb{R}^m $对某个$m>n$. 我们在欧式空间上赋予一个内积$(-,-)$并对任何向量$v\in\mathbb{R}^m $考虑高度函数$$h_v (x)=(x,v),\ \forall x\in\mathbb{R}^m$$则$f_v:=h_v\vert_X $给出了$X$上的光滑函数。接下来我们需要一个一般性结果：

1.7 命题. 设$\Lambda_{\infty } =\{v\in\mathbb{R}^m\vert f_v (x)不是一个Morse函数\}$，则$\Lambda_{\infty } $是$\mathbb{R}^m $中的零测集.

证明 类似于Sard定理的证明，我们也可以局部地考虑这个问题。设$X$是欧式空间$\mathbb{R}^n\times\{0\} $中的一个开子集，并且考虑映射$H\colon\mathbb{R}^m\times X\to\mathbb{R}^n $定义为$(v,x)\mapsto (\partial_1 f_v (x),\partial_2 f_v (x),\dotsb ,\partial_n f_v (x))$，其中$\partial_i f_v$是$f_v$关于第$i$个分量的偏导数，则$H$是光滑函数，并且我们知道$\diff H_{(v,x)} (\xi,\eta )=\displaystyle\sum_{i=1}^m\xi_i\eta_i\diff x_i $对任何$(x,v)$满足$H(x,v)=0$，其中$e_i $是$\mathbb{R}^n $上的一组正规正交基的前$m$个分量，故我们知道$0$是$H$的一个正则值。设$Z=H^{-1} (0)$并令$\pi\colon Z\to\mathbb{R}^m $为投影映射在$Z$上的限制。由于$T_{(v,x)}Z=\ker\diff H_{(v,x)}=\ker (\diff_1 H_{(v,x)} +\diff_2 H_{(v,x)} )$，我们知道$v$是$\pi$的一个正则点$\Leftrightarrow\diff_2 H_{(v,x)} $对任何$x\in X$满足$H(v,x)=0$都是满射，从而我们知道$f_v $是一个Morse函数。由Sard定理，$\pi $的临界点的集合$\Lambda_{\infty } $是$Z$上的零测集，从而也是$\mathbb{R}^m $中的零测集。

对于一般的$X$，我们可以选取可数开覆盖$\{U_i\} $使得每个$U_i $局部都可以选取恰当的标架使得其成为欧式空间中满足上述条件的子集，从而我们知道$\Lambda_{\infty } $就是$\Lambda_{\infty } (U_i )$的并集，从而自然是零测集。$\square $

因而我们知道对一般的$v\in\mathbb{R}^m $，高度函数$f_v $都给出了一个Morse函数. 高度函数作为Morse函数可以用于扭结的研究。

1.8 定义. 设$\mathbb{E}^3 $是一个给定定向以及标准内积$(-,-)$的欧式空间，我们称一个扭结是一个光滑嵌入$\phi\colon\mathbb{S}^1\to\mathbb{E}^3 $. 以$\mathbb{S} $记$\mathbb{E}^3 $中的单位球面.

参考文献