MM定理(Modigliani

MM定理是公司金融的奠基理论之一，本篇基于Arrow-Debreu证券市场证明了该定理，并给出直观的图解。(内容来自于课堂笔记，夹杂了一些英文，望理解)

理论框架

M&M Theorem (Proposition I): Irrelevance of capital structure

M&M and the Cost of Capital (Proposition II)

M&M and the irrelevance of Distribution Policy（1961）

提出者

Franco Modigliani(1918), CMU, MIT(凯恩斯学派), 1985 Nobel Prize(GE, 生命周期理论).

Merton Miller(1923-2000), CMU, Chicago(芝加哥/自由主义学派), 1990 Nonbel Prize(M&M), 资本结构之父，现代公司金融之父。

学生Eugene Fama, 现代金融之父。

学生Myron Scholes, 1997 Nobel Prize, 期权定价之父，衍生品之父。

【M&M Theorem Ⅰ】假定：

则公司总市值不受资本结构影响。

在没有交易成本和套机机会的情况下，资本结构不影响公司的现金流；

MM定理的另一种表述，在没有交易成本和套机机会的情况下，资本结构影响公司的价值当且仅当，资本结构影响公司的现金流。

该假定排除了以下情况：

直观理解：将饼看作公司的未来现金流

无交易成本（证券发行费用，信息不对称），核心在于保证有一个complete & competitive市场

Markets are complete: For each state s, there is an Arrow-Debreu security that costs P s P_s Ps​ at date 0 to purchase and pays one unit of the consumption good at date 1 if and only if state s occurs.

公司发行的任何证券(任何现金流)都可以在市场上找到替代品(可以被完全复制)。

No value to “financial marketing”：单纯通过分割现金流(e.g.创造出市场偏好的现金流)是不可能获得收益的。

无套利，金融估值是理性的。

Suppose that the firm’s assets will generate a random cash flow C C C next period (i.e., C ( s ) C(s) C(s) in state s s s). Today the firm issues securities K i ( s ) K_{i}(s) Ki​(s) against this cash flow ( i = 1 , 2 , … , N (i=1,2, \dots, N (i=1,2,…,N is the index for different securities like equity, debt, etc.).

Denote C i ( s ) C_i(s) Ci​(s) as cash flow next period for security i ( i = 1 , 2 , … , N ) i(i=1,2,\ldots,N) i(i=1,2,…,N) in state s s s, then the firm’s cash flow next period C ( s ) = ∑ i = 1 N C i ( s ) C(s)=\sum_{i=1}^{N}C_i(s) C(s)=∑i=1N​Ci​(s) for each state s s s.

Complete Markets: For each future state of the world s , s, s, there exists an Arrow-Debreu security (i.e., one that pays $$ 1$ iff s s s occurs), trading at a market price of P ( s ) P(s) P(s).

By tracking portfolio using Arrow-Debreu security, the security i i i's value K i = ∑ s = 1 S P ( s ) C i ( s ) K_i=\sum_{s=1}^{S}P(s)C_i(s) Ki​=∑s=1S​P(s)Ci​(s).

Then the total value of this firm is V = ∑ i = 1 N K i = ∑ i = 1 N ∑ s = 1 S [ P ( s ) C i ( s ) ] = ∑ s = 1 S ∑ i = 1 N [ P ( s ) C i ( s ) ] = ∑ s = 1 S [ P ( s ) ∑ i = 1 N C i ( s ) ] = ∑ s = 1 S [ P ( s ) C ( s ) ] \begin{aligned} V &= \sum_{i=1}^{N}K_i \\ &= \sum_{i=1}^{N} \sum_{s=1}^{S}\left[P(s)C_i(s)\right] \\ &= \sum_{s=1}^{S}\sum_{i=1}^{N}\left[P(s)C_i(s)\right] \\ &= \sum_{s=1}^{S}\left[P(s)\sum_{i=1}^{N}C_i(s)\right] \\ &= \sum_{s=1}^{S}\left[P(s)C(s)\right] \end{aligned} V​=i=1∑N​Ki​=i=1∑N​s=1∑S​[P(s)Ci​(s)]=s=1∑S​i=1∑N​[P(s)Ci​(s)]=s=1∑S​[P(s)i=1∑N​Ci​(s)]=s=1∑S​[P(s)C(s)]​ It means that the firm’s value is determined by it’s cash flow, independent of how it issues securities (M&M 1).

【M&M Theorem Ⅱ】在M&MⅠ的假设下，WACC独立于资本结构。

证明：

P V = E ( C F ) 1 + W A C C P V=\frac{E(C F)}{1+WACC} PV=1+WACCE(CF)​

由M&MⅠ， P V PV PV不随资本结构变化；由假设Ⅰ， C F CF CF不随资本结构变化。因此 W A C C WACC WACC与资本结构无关。

假设Ⅰ表明无税收，因此 W A C C = r ˉ ∗ = D V r ˉ D + E V r ˉ E WACC = \bar{r}^*=\frac{D}{V}\bar{r}_{D}+\frac{E}{V}\bar{r}_{E} WACC=rˉ∗=VD​rˉD​+VE​rˉE​

从而股权收益率将随杠杆增大而增加(与上一章相符合) r ˉ E = r ˉ ∗ + ( r ˉ ∗ − r ˉ D ) D E \bar{r}_{E}=\bar{r}^{*}+\left(\bar{r}^{*}-\bar{r}_{D}\right) \frac{D}{E} rˉE​=rˉ∗+(rˉ∗−rˉD​)ED​

The “asset beta” of firm β ∗ = D V β D + E V β E \beta^{*}=\frac{D}{V} \beta_{D}+\frac{E}{V} \beta_{E} β∗=VD​βD​+VE​βE​

Solve for β E \beta_{E} βE​ β E = β ∗ + ( β ∗ − β D ) D E \beta_{E}=\beta^{*}+\left(\beta^{*}-\beta_{D}\right) \frac{D}{E} βE​=β∗+(β∗−βD​)ED​

从而杠杆将增加股权的系统性风险(即使债务无风险)。

进一步通过CAPM模型可以将股权收益分解为business risk premium和financial risk premium r ˉ E = r f + [ β ∗ + ( β ∗ − β D ) D E ] ( r ˉ m − r f ) = r f + β ∗ ( r ˉ m − r f ) ⏟ business risk premium + ( β ∗ − β D ) D E ( r ˉ m − r f ) ⏟ financial risk premium \begin{aligned} \bar{r}_{E}&=r_{f}+\left[\boldsymbol{\beta}^{*}+\left(\boldsymbol{\beta}^{*}-\boldsymbol{\beta}_{D}\right) \frac{D}{E}\right]\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)\\ &=r_{f}+\underbrace{\boldsymbol{\beta}^{*}\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}_{\text{business risk premium}} +\underbrace{\left(\boldsymbol{\beta}^{*}-\boldsymbol{\beta}_{D}\right) \frac{D}{E}\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}_{\text{financial risk premium}} \end{aligned} rˉE​​=rf​+[β∗+(β∗−βD​)ED​](rˉm​−rf​)=rf​+business risk premium β∗(rˉm​−rf​)​​+financial risk premium (β∗−βD​)ED​(rˉm​−rf​)​​​ 不同融资结构对于投资者而言仅仅改变现金流的跨期结构，不改其现值/价值。这种改变可以通过资本市场实现，因此两种资本结构对投资者无差异。

M&MⅡ对于有风险债务仍然成立。e.g.有可能破产的情况下M&MⅡ仍成立，前提是无破产成本(假设Ⅱ)。

公司增发债务也不改变公司的价值，但是可能改变公司价值的分配：新债的风险大于旧债，如果新债和旧债有一样的优先级，股东获利，旧债权人吃亏(此种情况下旧债发行人事实上不完全理性)；如果新债低于旧债的优先级，则股东价值仍不变。

【定理】假定无税收，无交易成本，公司的投融资决策、经营策略固定，那么发放股利与股票回购对股权人无差异。

M&M定理表明，若融资决策不影响投资决策，则融资不改变企业价值。同时指出，WACC与资本结构无关；EPS具有杠杆效应，并非越高越好。

If we know what does not matter, we may infer what does.

但现实中，由于税盾、破产成本等存在，融资决策仍然会影响公司价值。

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