【积分变换】利用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程

拉普拉斯变换可以把微分方程转化为代数方程。由于现在是在利用拉氏变换求解微分方程，所以我们暂时不关注拉普拉斯变换中比较细节的方面。

利用拉氏变换解微分方程的基本方法就是把以 t 为变量的函数变换到以 s 为变量的代数函数，而这个过程会把微分项转换为代数式，这样我们就可以求解不含微分项的方程了。最后再利用拉普拉斯逆变换，把关于 s 的函数变换回关于 t 的函数，就完成了微分方程的求解。

不过我们要先有几样趁手的工具——常用函数的拉普拉斯变化对以及微分的拉普拉斯变换：

L[f(t)]=F(s) 表示对 f(t) 进行拉普拉斯变换的结果是 F(s) ，反之， L^{-1}[F(s)]=f(t) 表示的是对 F(s) 进行拉普拉斯逆变换得到了函数 f(t) .

常用函数的拉普拉斯变换（对应的逆变换也成立）：

L[1]=\frac{1}{s}

L[t^m]=\frac{m!}{s^{m+1}}

L[e^{at}]=\frac{1}{s-a}

L[\cos at]=\frac{s}{s^2+a^2}

L[\sin at]=\frac{a}{s^2+a^2}

L[e^{at}f(t)]=F(s-a)

拉普拉斯变换是具有线性性质的，也就是说， L[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha L[f(t)]+\beta L[g(t)] . 逆变换也具有线性性质。

对公式两侧同时进行拉普拉斯逆变换就可以得到逆变换的公式，比如第一个式子： L^{-1}[L[1]]=L^{-1}[\frac{1}{s}] ，整理一下就能得到 L^{-1}[\frac{1}{s}]=1 .

微分的拉普拉斯变换（需要知道原函数已经各阶导数在0处的值）：

L[f^{(n)}(t)]=s^n\color{blue}{F(s)}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-...-s^0f^{(n-1)}(0)

式中的 F(s) 是一个未知的函数，是需要我们解出来的。

百闻不如一见，来看例题。

先来一个简单的例题。

例1：求解微分方程 y'_t=t, y(0)=1

解：第一步，对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，即 L[y'_t]=L[t]

得到 s\color{blue}{Y(s)}-y(0)=\frac{1}{s^2} .

第二步，带入初值 y(0)=1 ，得到 sY(s)-1=\frac{1}{s^2} .

第三步，求解 Y(s) .这时候我们把第二步得到的式子看成一个普通的代数式就可以，很容易解得 Y(s)=\frac{1}{s^3}+\frac{1}{s} 。

第四步，变形，凑公式形式，把上面我们解出来的 Y(s) 想办法变成上面常用拉普拉斯变化对右侧部分的线性组合。这里我们只需要把 \frac{1}{s^3} 改写为 \frac{1}{2!}\cdot\frac{2!}{s^{2+1}} ，即 \frac{1}{2}\cdot \frac{2!}{s^{2+1}} .

这样，我们就得到了 Y(s)=\frac{1}{2}\cdot \color{blue}{\frac{2!}{s^{2+1}}}+\color{blue}{\frac{1}{s}} .

第五步，进行拉普拉斯逆变换，即 L^{-1}[Y(s)]=L^{-1}[\frac{1}{2}\cdot \color{blue}{\frac{2!}{s^{2+1}}}+\color{blue}{\frac{1}{s}}] .

利用线性性质可以进一步变形得到 L^{-1}[Y(s)]=\frac{1}{2}\cdot L^{-1}[\color{blue}{\frac{2!}{s^{2+1}}}]+L^{-1}[\color{blue}{\frac{1}{s}}] .

这时候就可以直接用公式了，很容易就可以得到 Y(t)=\frac{1}{2}t^2+1 .

这样我们就解完了这个微分方程，很容易验证这个结果是正确的。

下面我们再来看一个稍微难一点的例题。

例2：求解微分方程 x'''+3x''+3x'+x=6e^{-t}，x(0)=x'(0)=x''(0)=0 .

方程两侧同时进行拉普拉斯变换（其中的 x 看作是 x(t) 的0阶导函数）并带入初值，得

s^3X(s)+3s^2X(s)+3sX(s)+X(s)=\frac{6}{s+1}

解得 X(s)=\frac{1}{(s+1)(s^3+3s^2+3s+1)}

利用公式 (x+1)^4=(x+1)(x^3+3x^2+3x+1) 可以进一步得到：

X(s)=\frac{3!}{(s+1)^{3+1}} .

两边同时进行拉普拉斯逆变换，得到

x=t^3e^{-t} .

这一步逆变换是这样进行的：把 \frac{3!}{(s+1)^{3+1}} 看作 \frac{3!}{[s-(-1)]^{3+1}} ,然后就可以利用 L[e^{at}f(t)]=F(s-a) 这个公式进行逆变换，其中a=-1。

总结一下，利用拉普拉斯变换解微分方程的步骤如下：

①对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，其中的F(s)就是我们要求的原函数经过拉普拉斯变换的结果；

②带入初值条件；

③把要求的原函数F(s)用关于s的表达式g(s)表达；

④对③中得到的F(s)=g(s)两侧进行拉普拉斯逆变换即可得到微分方程的解。