Romberg积分法MATLAB实现（附代码、实例、详解）

2024-07-04 21:25| 来源: 网络整理| 查看: 265

第一部分：问题分析

（1）实验题目：龙贝格积分算法

具体实验要求：用matlab编写龙贝格积分的代码，要求代码实现用户输入了被积函数、积分区间、精度之后，龙贝格积分表(T-数表)。

（2）实验目的：让同学们进一步掌握龙贝格积分的原理以及运算过程，并且通过matlab编程培养实际的上机操作能力和代码能力。

第二部分：数学原理

龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。

在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。

根据已知的龙贝格外推公式：

第三部分：程序设计流程

功能函数（被调用者）

注：1.代码特别之处，将积分表作为一个矩阵存储，在打印时直接打印

2.要显示数据的精度，需要读者在命令行中输入format long指令

注意：该算法的T数表和实验原理中的T数表的顺序一样，但计算过程是一样的，只是修改了排列顺序。（一定不要把龙贝格积分算法中，代表各步骤的积分式T(m,k)和矩阵元素A(i,j)混淆）

主函数（面向用户：调用者）

第四部分：代码实现

Romberg积分函数实现：

function [] = Romberg_Iteration(f,a,b,e) k=0; % 迭代次数 n=1; % 区间划分个数 h=b-a; T=double(h/2*(f(a)+f(b)));%梯形公式求出T(1,1) err=b-a; while err>=e k=k+1; h=h/2; tmp=0; for i=1:n tmp=tmp+f(a+(2*i-1)*h); end T(k+1,1)=double(T(k)/2+h*tmp);%求出行首元 for j=1:k T(k+1,j+1)=double(T(k+1,j))+double((T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1));%迭代算法 end n=n*2; err=abs(T(k+1,k+1)-T(k,k));%误差为该次迭代的首元和上一次迭代首元的差 end disp(T);

用户调用部分：

用户在该函数函数中输入积分区间的左右端点a、b,精度e，以及被积函数f(x）

a = 0; b = 1; e = 1e-6; syms x; f(x) = exp(x)*x^2; Romberg_Iteration(f,a,b,e);

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