当matlab不能直接计算定积分时应该怎么办

matlab定积分可以通过int函数来计算定积分

如计算 \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\mathrm dx

结果如下：

但是有时候，这个方法会失效

比如计算 \displaystyle\int_{0}^{1}\arctan x\ln(1+x)\mathrm dx

返回的结果竟然将输入原封不动的输出！

对此，我们要返璞归真，利用定积分的定义来计算

分四步：分割、近似、求和、取极限

\Delta x_k=x_{k}-x_{k-1}\quad k=1,2,\cdots n

\xi_{k}\in[x_{k-1},x_{k}]

\lambda=\max_{1\leq k \leq n}{\Delta x_{k}}

\int_{a}^{b}{f(x)}dx=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta x_{k}

当将积分区间 n 等分、并取右端点：

\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(a+\dfrac{b-a}{n}i)\dfrac{b-a}{n}

程序代码如下

输出结果：

这样的结果是有限小数，并不能用无理数具体地表示

但是这种处理方法比较适合是有限区间的定积分，如果计算上限为无穷大时的积分（反常积分，并且收敛），可以将上限设一个比较大的数，如100000，这样求得的结果与实际值并没有太大的差别。