【Matlab】如何使用MATLAB可视化二重积分（附完整MATLAB代码）

二重积分是指在二维空间中对函数进行积分。二重积分的公式如下： ∫ a b ∫ c d f ( x , y ) d x d y ∫_a^b ∫_c^d f(x, y) dx dy ∫ab​∫cd​f(x,y)dxdy 其中， a a a 和 b b b 是 x x x 的积分上限和下限， c c c 和 d d d 是 y y y 的积分上限和下限， f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 是被积函数。

二重积分可以用来计算函数在二维区域上的面积、体积、重心等。 例如，要计算函数 f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x, y)=x^2+y^2 f(x,y)=x2+y2 在区间 [ 0 ， 1 ] ∧ 2 [0 ， 1]^{\wedge} 2 [0，1]∧2 上的面积，可以使用以下公式: ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 + y 2 ) d x d y \int_0^1 \int_0^1\left(x^ 2+y^2\right) d x d y ∫01​∫01​(x2+y2)dxdy

计算结果为: ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 + y 2 ) d x d y = 0.3333333333333333 \int_0^1 \int_0^1\left(x^ 2+y^2\right) d x d y=0.3333333333333333 ∫01​∫01​(x2+y2)dxdy=0.3333333333333333

这意味着，函数 f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x, y)=x^2+y^2 f(x,y)=x2+y2 在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0,1]^2 [0,1]2 上的面积为 0.3333333333333333 0.3333333333333333 0.3333333333333333 。

二重积分可以采用多种方法进行计算，常见的方法包括:

对于复杂的二重积分，可以采用数值积分的方法进行计算。

针对以下这个二重积分： ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 + y 2 ) e ( x 2 + y 2 ) d x d y ∫_0^1 ∫_0^1 (x^2 + y^2) e^(x^2 + y^2) dx dy ∫01​∫01​(x2+y2)e(x2+y2)dxdy 这个积分函数是 ( x 2 + y 2 ) e ( x 2 + y 2 ) (x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)} (x2+y2)e(x2+y2)，它是一个指数函数。指数函数在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0, 1]^2 [0,1]2 上是单调递增的，因此这个积分是可积的。

这个积分可以用来计算函数 ( x 2 + y 2 ) e ( x 2 + y 2 ) (x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)} (x2+y2)e(x2+y2)在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0, 1]^2 [0,1]2 上的面积。

首先，我们需要计算积分函数的值。我们可以使用 MATLAB 的 integral() 函数来计算：

上述这段代码将计算积分函数 ( x 2 + y 2 ) e ( x 2 + y 2 ) (x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)} (x2+y2)e(x2+y2) 在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0, 1]^2 [0,1]2 上的值，并将结果存储在变量 integral 中。

接下来，我们可以使用 MATLAB 的 contour() 函数来绘制积分函数的等高线图：

这段代码将绘制一个等高线图，该图表示积分函数 ( x 2 + y 2 ) e ( x 2 + y 2 ) (x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)} (x2+y2)e(x2+y2) 在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0, 1]^2 [0,1]2 上的等高线。

生成的等高线图如下所示：

从等高线图中可以看到，积分函数 ( x 2 + y 2 ) e ( x 2 + y 2 ) (x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)} (x2+y2)e(x2+y2) 在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0, 1]^2 [0,1]2 上是一个单调递增的函数。

我们还可以使用 MATLAB 的 surf() 函数来绘制积分函数的三维曲面图：

可视化结果如下：