Matlab学习笔记（5.5）曲线拟合

人口增长是当今世界上都关注的问题，对人口增长趋势进行预测是各国普遍的做法。已知某国1790年到2010年间历次人口普查数据如下表所示，请预测该国2020年的人口数。

解题思路：找一个函数，去逼近这些数据，然后再根据找到的函数，计算预测点的值。

与数据插值类似，曲线拟合也是一种函数逼近的方法。

构造函数 g(x) 去逼近未知函数 f(x) ，使得误差 \delta_i=g(x_i)-f(x_i) ，在某种意义下达到最小。

两个问题：

① 用什么类型的函数做逼近函数？

② 误差最小到底怎么计算？

最小二乘法：

设 p(x) 是一个多项式函数 p(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dots+a_1x+a_0，求系数 a_i 的值，使得 \sum_{i=1}^{n}{\left[ p(x)-y_i \right]}^2 最小，则 p(x) 为原函数 y=f(x) 的逼近函数。

MATLAB中的多项式拟合函数为polyfit()，其功能为求得最小二乘拟合多项式系数，其调用格式为：

\bullet P=polyfit(X,Y,m)

\bullet [P,S]=polyfit(X,Y,m)

\bullet [P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)：

根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X)，而mu(2)是std(X)。

① 问题分析

在引例中，我们已经用polyfit()函数预测了某国2020年的人口数。这个结果是否正确呢？

我们无法得到2020年的数据，但是2016年的数据已经有了。所以，不妨再预测一下该国2016年的人口数。

该国2016年人口数实际为323.1，相对误差1.24%，怎样才能减小？

据研究，一个国家的人口增长具有如下特点：

\circ 发展越平稳，人口增长越有规律。

\circ 当经济发展到一定水平时，人口增长率反而下降。

换言之，在不同的环境和经济发展水平，人口可能有不同的增长规律。

② 结果：

尝试将二战后至今这一时期的数据与此前的数据分开处理，并选择合适的拟合次数

③ 结论

\bullet 要对问题的背景进行详细的分析

\bullet 采样点并非越多越好，适当的时候，可以减少采样点，分段进行拟合

以下是某市家庭收入x与家庭储蓄y之间的一组调查数据（单位：万元）， 试建立x与y的线性函数经验公式。

曲线拟合的三种功能：

① 估算数据

② 预测趋势

③ 总结规律