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【1】下三角矩阵线性方程的求解◀ 【2】矩阵的LU分解初步:一个对角线上元素非零的方阵 对于一个下三角矩阵矩阵我们可以非常容易地利用消元的方式求解。 线性方程 $$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 &. &. &. &0 \\ a_{21} &a_{22} &. &. &. & 0\\ .& .& .& & & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & & .&. \\ a_{m1}&a_{m2} &a_{m3} &. &. &a_{mm} \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ x_{5}\\ x_{6}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\\ b_{4}\\ b_{5}\\ b_{6} \end{bmatrix}$$我们将其重写为等式 $$a_{11}x_{1}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\.\\.\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mm}x_{m}=b_{m}\\$$ 对于第一个等式,我们可以解得\(x_{1}=\frac{b_{1}}{a_{11}}\) 对于第二个等式,我们有\(x_{2}=\frac{b_{2}-a_{21}x_{1}}{a_{22}},代入x_{1}\)可以解得\(x_{2}\) 对于第三个等式,我们有\(x_{3}=\frac{b_{3}-(a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2})}{a_{33}}\),代入\(x_{1}\),\(x_{2}\)可以解得\(x_{3}\) 如此重复以上,我们可以得到一般的递推解$$x_{m}=\frac{b_{m}-\sum_{i=1}^{m-1}a_{mi}x_{i}}{a_{mm}}$$ 利用计算机,我们可以在\(O(N^2)\)的时间内求解,以下给出其核心程序 VecX[0] = VecB[0] / MatA[0][0]; for (i = 1; i < Row; i++) { for (j = 0; j < i; j++) sum += MatA[i][j] * VecX[j]; VecX[i] = (VecB[i] - sum) / MatA[i][i]; sum = 0; } |
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