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数理方程及MATLAB解算学习笔记
文章目录数理方程及MATLAB解算学习笔记第一章 MATLAB基础知识1、class查询数值类型2、永久性数值变量3、创建特殊矩阵的专用指令4、基本初等函数及统计函数指令5、用syms指令定义符号变量6、符号矩阵7、求算与微积分有关的指令==1、级数求和指令symsum==2、一元函数的泰勒级数展开指令是taylor3、求函数极限的指令为limit4、求导数的指令为diff5、求积分的指令为int8、求解一阶偏微分方程9、定义全局变量
第一章 MATLAB基础知识
1、class查询数值类型
class(a) 2、永久性数值变量 变量名意义pi圆周率πINF或Inf正无穷大ans临时变量名eps机器浮点运算误差限(2.2204*10 -18 )i或j虚数单位，代表−1\sqrt{-1}−1NaN不定值。如：00\frac{0}{0}00，∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞,0, ∞\infty∞ 3、创建特殊矩阵的专用指令 指令格式功能flipud(a)输出矩阵a上下翻转后的矩阵fliplr(a)输出矩阵a左右翻转后的矩阵diag(a,k)输出矩阵a的主对角线右移k列后构成的列向量。省略k时，视k=0tril(a)(triu(a))输出矩阵a主对角线下(上)方元素构成的下(上)三角矩阵 4、基本初等函数及统计函数指令 指令意义指令意义log(x)ln(x)angle(x)复数x的相角log2(x)log2(x)_2(x)2(x)cumsum(x)x列元素累加和exp(x)ex^xxcumprod(x)x列元素累进积sqrt(x)x\sqrt{x}x（平方根)mean(x)x列元素平均值sinh(x)双曲正弦 shxprod(x)x列元素之积sign(x)数x的正负号round(x)输出x的四舍五入取整real(x)x的实部fix(x)输出x靠近零的整数imag(x)x的虚部floor(x)输出靠近-∞\infty∞的整数abs(x)x绝对值或模ceil(x)输出靠近∞\infty∞的整数nchoosek(m,n)m中选n的组合数CnmC^m_nCnmpord(m:n)m(m+1)···(n-1)nsort(x)x列元素按升序重排factorial(x)输出x!median(x)输出x列元素的中间值pow2(x)输出2x2^x2xrem(x1,x2)输出x1./x2的余数mod(x1,x2)输出x2.\x1的余数inv(x)x的绝对值conj(x) 5、用syms指令定义符号变量简单来说就是把一个式子定义成符号变量 用法1：sysm a1 a2 a3 … flag1 (1)输入参量a1,a2,a3,……只能是标识符，不得是数字、函数表达式或方程式。 (2)输入参量a1,a2,a3,…,flag1之间，只能用空格分隔，不得添加任何符号。 (3)输入参数flag1是规定被定义符号量属性的，称为属性符，它可跟据需要选用下述字符串之一： 代码字符串类型unreal定义成复数型符号量real定义成实数型符号量negative定义成负实数型符号量positive定义成正实数型符号量nonzero定义成非零型符号量真是一刻也不能松懈呀 也可用sym创建符号矩阵 用法2:sym(A) 输入参量A可以是数值矩阵、字符量矩阵、符号量表达式，也可以是方程。矩阵中两个元素之间最好用逗号分隔，以防对空格的误识别 6、符号矩阵符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者表达式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。 符号矩阵的替换和修改可用替换指令subs实现 用法：B1=subs(B,old,new) (1)输入参量B代表符号矩阵中的单个元素或部分元素，叫符号矩阵的标识 (2)输出的符号矩阵B1为B中old部分被new代替后的矩阵 (3)old为元素位置 符号矩阵的简化可用simplify指令实现 用法：simplify(s) s为符号矩阵 7、求算与微积分有关的指令 1、级数求和指令symsum用法：symsum(s,n,n0,nk) (1)输入参量s为级数通项的符号表达式，或由它们构成的符号矩阵。 (2)输入参量n是通项中被认定的项数变量，缺省n时默认为“x”。如果难以确认s表达式中的项数变量，可输入指令findsym(s)查询。 (3)n0和nk分别为首项和末项的序号。n0可以是小数，但步长总是1。缺省n0和nk时，默认n0=1，nk=n-1。 (4)回车后输出通项为s的级数从第n0项到第nk项之和。 例：求级数S∑n=0∞(−1)nxn+1n+1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}∑n=0∞(−1)nn+1xn+1 clear,syms x n S=symsum((-1)^n*x^(n+1)/(n+1),n,0,inf) 2、一元函数的泰勒级数展开指令是taylor用法：taylor(f,‘order’,n,‘ExpansionPoint’,a) (1)输入参量f为待展开函数的符号表达式，或由它们构成的矩阵，f不得省略。 (2)输入参量n取正整数，代表级数的项数，输出是将f表达式展开成最高幂次为(n-1)的幂级数。 (3)输入参量x为指定的变量名称，如果没写的话就默认为x或t。如果f中只有一个变量时，可以省略指定变量名。 (4)输入参数a表示函数f(x)在x=a处展开，即展开成(x-a)的幂级数。 (5)缺a时默认a=0，函数在x=0处展开，即展开为麦克劳林级数。缺n时，默认级数的项数n=6，函数f(x)展开成x最高幂次为5的幂级数。 例：把函数f(x)=e−xe^{-x}e−x在x=10处展开，x的最高次项取为9。 clear,syms x s = taylor(exp(-x),'order',9,'ExpansionPoint',10) 3、求函数极限的指令为limit用法：limit(f,x,a,‘right’或’left’) (1)f为函数f(x)或函数矩阵的符号表达式。 (2)输出为limx→af(x)lim_{x\rightarrow a}f(x)limx→af(x),省略a时，默认a=0。 (3)right为右极限，left为左极限，省略时表示左右极限相等。 (4)limit可以嵌套使用。 例：求极限limx→axm−amx−alim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[m]{x}-\sqrt[m]{a}}{x-a}limx→ax−amx−ma syms x m a limit((x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a),x,a) 4、求导数的指令为diff用法：F=diff(f,'x’n) (1)f为函数或函数矩阵的符号或字符表达式 (2)x为指定的函数求导自变量，缺省时默认为x或t。 (3)n为求导的阶数，缺省时默认n=1，此时输出f的一阶导函数。 (4)输出量F为函数f对变量x的n阶导函数。 若明确指出不同的求导自变量，则该指令可用于求多元函数的偏导数。 例：已知函数矩阵A(x)=(lna−xa+xarcsinx−1x+1x2x1−x)A(x)=\begin{pmatrix} ln\sqrt{\frac{a-x}{a+x}} & arcsin\frac{x-1}{x+1} \\ x^{2x} & \sqrt{1-x} &\end{pmatrix}A(x)=(lna+xa−xx2xarcsinx+1x−11−x),求出每个元素对x的二阶导数。 syms a x A = [log(sqrt((a-x)/(a+x))),asin((x-1)/(x+1));x^(2*x),sqrt(1-x)]; A2=diff(A,2); disp('A"(x)='),pretty(simplify(A2))若要求出x=a时上述二阶导数的值，可用subs(A2,x,a)指令得出 例：设z=x2y−xy2z=x^2y-xy^2z=x2y−xy2,其中x=ucosvx=ucosvx=ucosv,y=usinvy=usinvy=usinv,求∂z∂v\frac{\partial{z}}{\partial{v}}∂v∂z和∂z∂u\frac{\partial{z}}{\partial{u}}∂u∂z。 下面代码有问题 syms x y z=x^2*y-x*y^2; z1=subs(z,'x','u*cos(v)'); z2=subs(z1,'y','u*sin(v)'); o=diff(z2,'u') 5、求积分的指令为int用法：s=int(f,x,a,b) (1)f为被积函数的符号表达式，或其矩阵。 (2)x为积分变量，若被积函数中只有一个变量。则可以省略。 (3)a,b为定积分分别为定积分上下限，缺少时输出被积函数的原函数 (4)int指令可以嵌套多次使用，从而可用于计算多重积分。 例：计算定积分f(x)=∫0π33xydyf(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}3x^ydyf(x)=∫03π3xydy syms x y s=int(3*x^y,y,0,pi/3)例：求二重不定积分y(x,t)=∬t2e−2txdtdxy(x,t)=\iint{t^2e^{-2tx}dtdx}y(x,t)=∬t2e−2txdtdx. syms t x c1 c2 y=int(int(t^2*exp(-3*t*x),t)+c1,x)+c2例：计算广义积分S=∫−∞∞11+t2dtS=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+t^2}dtS=∫−∞∞1+t21dt。 syms t S=int(1/(1+t^2),-inf,inf) 8、求解一阶偏微分方程利用MATLAB中pdepe函数求解一般的偏微分方程组-百度经验 (baidu.com) 9、定义全局变量global函数 用法 clc;clear global a a=5 |
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