带约束的非线性方程组

2023-05-18 14:04| 来源: 网络整理| 查看: 265

求解具有不等式约束的方程

fsolve 求解非线性方程组。但是，它不允许您包含任何约束，甚至是边界约束。那么，如何求解带约束的非线性方程组？

满足您的约束的解不一定存在。事实上，此问题可能没有任何解，哪怕是不满足约束的解。然而，有一些方法可以帮助您搜索满足约束的解。

为了说明这些方法，假设要设法求解以下方程

F1(x)=(x1+1)(10-x1)1+x221+x22+x2F2(x)=(x2+2)(20-x2)1+x121+x12+x1,

其中 x 的分量必须为非负值。这些方程有四个解：

x=(-1,-2)x=(10,-2)x=(-1,20)x=(10,20).

只有一个解满足约束，即 x = (10,20)。

位于此示例末尾的 fbnd 辅助函数会以数值方式计算 F(x)。

使用不同起点

一般情况下，包含 N 个变量、N 个方程的方程组有孤立的解，这意味着每个解都没有同为解的邻点。因此，搜索满足某些约束的解的一种方法是生成多个初始点 x0，然后从每个 x0 开始运行 fsolve。

对于此示例，要寻找方程组 F(x)=0 的解，请取 10 个随机点，这些点呈正态分布，均值为 0，标准差为 100。

rng default % For reproducibility N = 10; % Try 10 random start points pts = 100*randn(N,2); % Initial points are rows in pts soln = zeros(N,2); % Allocate solution opts = optimoptions('fsolve','Display','off'); for k = 1:N soln(k,:) = fsolve(@fbnd,pts(k,:),opts); % Find solutions end

列出满足约束的解。

idx = soln(:,1) >= 0 & soln(:,2) >= 0; disp(soln(idx,:)) 10.0000 20.0000 10.0000 20.0000 10.0000 20.0000 10.0000 20.0000 10.0000 20.0000 使用不同算法

fsolve 有三种算法。每种算法可能得到不同的解。

例如，采用 x0 = [1,9] 并检查每个算法返回的解。

x0 = [1,9]; opts = optimoptions(@fsolve,'Display','off',... 'Algorithm','trust-region-dogleg'); x1 = fsolve(@fbnd,x0,opts)x1 = 1×2 -1.0000 -2.0000 opts.Algorithm = 'trust-region'; x2 = fsolve(@fbnd,x0,opts)x2 = 1×2 -1.0000 20.0000 opts.Algorithm = 'levenberg-marquardt'; x3 = fsolve(@fbnd,x0,opts)x3 = 1×2 0.9523 8.9941

此处，对于同一个初始点，三种算法得到的解各不相同。都不满足约束。报告的“解”x3 甚至不是解，而只是局部平稳点。

使用带边界的 lsqnonlin

lsqnonlin 尝试最小化向量函数 F(x) 中各分量的平方和。因此，它尝试求解方程 F(x) = 0。此外，lsqnonlin 接受边界约束。

针对 lsqnonlin 构造示例问题并对其求解。

lb = [0,0]; rng default x0 = 100*randn(2,1); [x,res] = lsqnonlin(@fbnd,x0,lb)Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance. x = 2×1 10.0000 20.0000 res = 2.4783e-25

在本例中，lsqnonlin 收敛于满足约束的解。您可以结合使用 lsqnonlin 和 Global Optimization Toolbox MultiStart 求解器，自动基于多个初始点进行搜索。请参阅MultiStart Using lsqcurvefit or lsqnonlin (Global Optimization Toolbox)。

将方程和不等式设置为 fmincon 约束

您可以按照以下方式重新表示问题并使用 fmincon：

给出常数目标函数，如 @(x)0，该函数对每个 x 的计算结果为 0。

将 fsolve 目标函数设置为 fmincon 中的非线性等式约束。

以通常的 fmincon 语法给出任何其他约束。

此示例末尾的 fminconstr 辅助函数实现非线性约束。求解约束问题。

lb = [0,0]; % Lower bound constraint rng default % Reproducible initial point x0 = 100*randn(2,1); opts = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','interior-point','Display','off'); x = fmincon(@(x)0,x0,[],[],[],[],lb,[],@fminconstr,opts)x = 2×1 10.0000 20.0000

在本例中，fmincon 从起点求解问题。

辅助函数

以下代码创建 fbnd 辅助函数。

function F = fbnd(x) F(1) = (x(1)+1)*(10-x(1))*(1+x(2)^2)/(1+x(2)^2+x(2)); F(2) = (x(2)+2)*(20-x(2))*(1+x(1)^2)/(1+x(1)^2+x(1)); end

以下代码创建 fminconstr 辅助函数。

function [c,ceq] = fminconstr(x) c = []; % No nonlinear inequality ceq = fbnd(x); % fsolve objective is fmincon nonlinear equality constraints end

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