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B样条曲线的递归定义
B样条曲线与给定的阶数 k k k 和 节点向量都有关 ↓ 即使选取的阶数 k k k 相同，但节点向量不同，则得到的曲线也不同 一些规律：
递推图示：
k k k 阶B样条 N i , k ( u ) N_{i,k}(u) Ni,k(u) 可由两个 k − 1 k-1 k−1 阶 N i , k − 1 ( u ) , N i + 1 , k − 1 ( u ) N_{i,k-1}(u),N_{i+1,k-1}(u) Ni,k−1(u),Ni+1,k−1(u) 递推得到 系数的含义：系数分别为 u − u i u i + k − 1 − u i \frac{u-u_i}{u_{i+k-1}-u_i} ui+k−1−uiu−ui 和 u i + k − u i u i + k − u i + 1 \frac{u_{i+k}-u_i}{u_{i+k}-u_{i+1}} ui+k−ui+1ui+k−ui 分母分别为两个 k − 1 k-1 k−1 阶基函数的支撑区间： N i , k − 1 ( u ) N_{i,k-1}(u) Ni,k−1(u) 的支撑区间为 [ u i , u i + k − 1 ) [u_i,u_{i+k-1}) [ui,ui+k−1) N i + 1 , k − 1 ( u ) N_{i+1,k-1}(u) Ni+1,k−1(u) 的支撑区间为 [ u i + 1 , u i + k ) [u_{i+1},u_{i+k}) [ui+1,ui+k)分子为参数 u u u 将 N i , k ( u ) N_{i,k}(u) Ni,k(u) 的支撑区间 [ u i , u i + k ) [u_i,u_{i+k}) [ui,ui+k) 划分为两部分 u − u i {u-u_i} u−ui 为参数 u u u 距离左端节点位置 u i + k − u {u_{i+k}-u} ui+k−u 为参数 u u u 距离右端节点位置分子（距离）除以分母（区间长度）后，将距离归一化到 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 之间 因此, N i , p ( u ) N_{i,p}(u) Ni,p(u) 是 N i , p − 1 ( u ) N_{i,p-1}(u) Ni,p−1(u) 和 N i + 1 , p − 1 ( u ) N_{i+1,p-1}(u) Ni+1,p−1(u) 的线性组合，有两个系数，都在 u u u 上是线性的，在0和1之间。 四阶均匀B样条曲线 1.计算四阶B样条基函数 N i , 4 ( u ) N_{i,4}(u) Ni,4(u)根据递推公式计算： 
如上图所示，B样条基函数 N i , 4 ( u ) N_{i,4}(u) Ni,4(u) 由四段三次多项式曲线拼接而成。 四条三次多项式曲线如下图所示： （分别为实线、虚线、点线、点划线） 
其中B样条基函数 N i , 4 ( u ) N_{i,4}(u) Ni,4(u) 曲线为下图中红色曲线： 
均匀B样条基函数在曲线定义域内各个节点区间上都有相同图形 （相同公式，其中所有的 u i + 1 − u i u_{i+1}-u_i ui+1−ui 都相同） 
上图可以分析B样条的局部控制特性 例： 第一个控制点 P i P_i Pi 只与 N i , 4 ( u ) N_{i,4}(u) Ni,4(u) 相乘（由B样条曲线定义式得），所以其影响 N i , 4 ( u ) N_{i,4}(u) Ni,4(u) 的支撑区间 ( u i , u i + 4 ) (u_i,u_{i+4}) (ui,ui+4) 上的曲线的形状 2. 简化函数形式以其中一个节点区间 [ u i + 3 , u i + 4 ) [u_{i+3},u_{i+4}) [ui+3,ui+4) 为例： 
上图中 ( i , j ) (i,j) (i,j) 表示第 i i i 个基函数的第 j j j 段分片 
上述公式中很多 u − u i + j u-u_{i+j} u−ui+j 形式的因子 ↓ ↓ 令 t j = u − u i + j t_j = u-u_{i+j} tj=u−ui+j ↓ （仍以区间 [ u i + 3 , u i + 4 ) [u_{i+3},u_{i+4}) [ui+3,ui+4) 为例） 引入 t 3 = u − u i + 3 t_3 = u-u_{i+3} t3=u−ui+3 则 u i + j ≤ u < u i + j + 1 < = > 0 ≤ t j < 1 u_{i+j} ≤ u < u_{i+j+1} 0≤t_j |
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