2.4 依测度收敛（Converge in measure）

目录

第一章 Measure theory

1.1 Ring和Algebra

1.2 测度 & 外测度 & 测度的完备化

1.3 外测度的构造 & Lebesgue测度 & Lebesgue-Stieltjes测度

1.4 Metric Space &Metric Outer Measure

1.5 Lebesgue测度再讨论

1.6 带号测度（Signed Measure）& Hahn分解 & Jordan分解

第二章 可测函数（measurable function）

2.1 可测函数的定义

2.2 可测函数的性质

2.3 Egoroff定理和Lusin定理

2.4 依测度收敛（Converge in measure）

Section 1 依测度收敛（Converge in measure）

定义1（依测度收敛）

几乎处处实值的可测函数序列 \{f_n\} 称为依测度收敛（convergent in measure），如果存在可测函数 f ，使得对任意 \varepsilon>0 ,有 \lim_{n\to \infty} \mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon\})=0

此时，我们就说 \{f_n\} 依测度收敛于 f ，记作 f_n \to f\ \text{ in measure.}

例子1 概率论中的依概率收敛

例子2 (处处不收敛但依测度收敛的例子)

在Lebesgue测度空间 (\mathbb{R},L,m) 上，取 E=(0,1] 。构造函数序列如下：第1步，将 (0,1] 二等分，定义两个函数：

\[f_1^{(1)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{L}} 1,&x\in(0,\frac12]\\ 0,&x\in(\frac12,1] \end{array}} \right.\] , \[f_2^{(1)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{L}} 0,&x\in(0,\frac12]\\ 1,&x\in(\frac12,1] \end{array}} \right.\]

第2步将 (0,1] 四等分、第3步八等分、。。。依次作下去，到第 n 步时，将 (0,1] 平均分成 2^n 份，并定义 2^n 个函数，每个函数 f_j^{(n)} 定义为 \[f_j^{(n)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{L}} 1,&x\in(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}]\\ 0,&x\notin (\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}]\ \end{array}} \right.\]

然后把 \{f^{(n)}_j\} (j=1,2,\cdots,2^n) 先按 n 后按 j的顺序排成一列： f^{(1)}_1,f^{(1)}_2,f^{(2)}_1,f^{(2)}_2,f^{(2)}_3,f^{(2)}_4,\cdots,f_1^{(n)},f_2^{(n)},\cdots,f_{2^n}^{(n)},\cdots

其中 f_j^{(n)} 在这个序列里是 第2^n-2+j 个函数。我们断言：函数序列 \{f^{(n)}_j\} 在 E 上处处不收敛，但依Lebesgue测度 m 收敛于零

(2)函数序列 \{f^{(n)}_j\} 在 E 上依Lebesgue测度 m 收敛于 f=0 。我们计算使第N=2^n-2+j 个函数 f^{(n)}_j 与 f 的差大于等于 \varepsilon 的那些点，即是： \forall \varepsilon>0 , \{x:|f^{(n)}_j-f(x)|\geq\varepsilon\}=(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}] ，因此 m(\{x:|f^{(n)}_j-f(x)|\geq\varepsilon\})=m((\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}])=\frac1{2^n} 。当 N\rightarrow \infty 时， 也有n\rightarrow\infty ，故 m(\{x:|f^{(n)}_j-f(x)|\geq\varepsilon\})=\frac1{2^n} \to \infty 。 \square

\Delta 依测度收敛的性质（以下命题都在测度空间 (X,\mathfrak{a},\mu) 中考虑）

(1) f_n \to f \ \text{ in measure}\Leftrightarrow f_n - f\to 0 \ \text{ in measure}

(2) f_n \to f \ \text{ in measure}\Rightarrow f\ \text{ is a.e. real-valued}

令 E=\cup_{n=1}^{\infty}\{x:f_n(x)=\pm\infty\} ,则 \mu(E)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu(\{x:f_n(x)=\pm\infty\})(测度的次可加性)。又因为每个 f_n 都是几乎处处实值的，故 \mu(\{x:f_n(x)=\pm\infty\})=0 。因此 \mu(E)=0 。

任取 \varepsilon>0 ,对所有的 n 都有：\{x:f(x)=\pm\infty\}\subseteq ((X\backslash E)\cap \{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon\})\cup E 因此\mu(\{x:f(x)=\pm\infty\})\leq \mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon\}) 对所有的 n 成立。不等式的左边与 n 无关；右边因为 f_n \to f \ \text{ in measure} ，故随着 n\rightarrow \infty 而趋于 0

那么我们取 n\rightarrow \infty ,就得到 \mu(\{x:f(x)=\pm\infty\})=0 ，这就说明了 f 是几乎处处实值。 \square

(3)f_n \to f,g \ \text{ in measure}\Rightarrow f=g\ \text{ a.e.}

(5) \begin{align*} &f_n\to f \ \&\ g_n\to g \text{ in measure}\\ &\Rightarrow\forall\alpha,\beta\in \mathbb{R},\alpha f_n+\beta g_n \to \alpha f+\beta g \text{ in measure} \end{align*}

(6) \begin{align*} &\mu(X)0 ，存在 c>0 ,使得 \mu(\{x:|g(x)|>c\})0 ，存在 N ,使得 n\geq N 时， \mu(X)-\mu(E_n)\mu(X)-\mu(E_n)=\mu(X\backslash E_n)=\mu(\{x:|g(x)|>n\}) 。综上，对任意 \delta>0 ，存在 c>0 ,取 c=n ，使得 \mu(\{x:|g(x)|>n\})0,\exists N,\ni n\geq N,|f_n(x)-f(x)|\varepsilon>0 ,令 E=\{x:|f_n-f|\geq\varepsilon\}。E 可表示为 E=(E\cap F^c)\cup(E\cap F),则 \mu(E)\leq\mu(E\cap F^c)+\mu(E\cap F) 。

而 \mu(E\cap F)\leq\mu(F)=0 .再计算 \mu(E\cap F^c) 。因为 E\cap F^c=\{x:|f_n-f|\geq\varepsilon\}\cap\{x:f =g\}=\{x:|f_n-g|\geq\varepsilon\} 因此 n\to \infty 时， \mu(E\cap F^c)\to0 ，故而 \mu(E) \to0 。因此 f_n \to f \ \text{ in measure}