分布收敛等几个概率之间的区别和联系是什么

上面是以前整理的一些内容，下面是从知乎上看到的，图片用电脑看比较清楚分布收敛(convergence in distribution):

定义：依分布收敛至X，记作，意味着：，对于所有F的连续点x。

也就是说，当n很大的时候，的累积函数和X的累积函数差不多。

直观上而言，依分布收敛只在乎随机变量的分布，而不在乎他们之间的相互关系。

举例而言，倘若已知，假设。对于任意一个发生的事件，Y与X的取值正好差了一个负号。但这并不影响X与Y有相同的累积函数，即。如此一来，。更一般的情况而言，只要X与Y有相同的累计函数，即same distributed，即使，也有。因为依分布收敛仅仅在乎分布，而不在乎相互之间的关系。

概率收敛(convergence in probability):定义：依概率收敛至X，记作，意味着：，当，。

也就是说，当n很大的时候，对任意发生的事件，的值和X的值差不多，即很小。

直观上而言，依概率收敛在乎的是随机变量的值。

这样说来，前面依分布收敛的例子如果套在概率收敛上就会出现问题。如果，但对于任何一个与X分布一样的Y，但，一定不成立，因为X与Y只是分布相同，而值不同。但反而言之，如果，即它们的值都差不多了，那么它们的分布一定也差不多，即。因此，依概率收敛比依分布收敛要强，即。

但在某种情况下，取值就可以确定分布。即X取某个常数的情况下。此时X的取值和X的分布唯一确定。即此时会有依分布收敛和依概率收敛等价，即。

Lp收敛(convergence in Lp):定义：依Lp收敛至X，记作，意味着：，当，。在p＝2时即为均方收敛。

直观上而言，均方收敛在乎的也是随机变量的值，但其要求比依概率收敛更加严格。

之所以更加严格，是因为概率测度可以被均方测度所限制，其思想可以近似由Chebyshev不等式看到。。因此.

几乎处处收敛(convergence almost surely):定义：几乎处处收敛至X，记作，意味着：，当。

直观上而言，几乎处处收敛在乎的也是随机变量的值，但其要求也比依概率收敛更加严格。

如果没有接触过实变函数的知识，几乎处处收敛对于连续型随机变量可能比较难以理解。我们这边用离散型随机变量进行直观解释，以避免0测度下的一些问题。

对于，即以概率取1，其余为0的随机变量。其依概率收敛到1意味着，和1的值都差不多，而且随着n越来越大，不相等的概率越来越小。转而言之，出现0的概率越来越小，极限为0。但几乎处处收敛至1要求，存在N，时，，即和1的值都在n很大时必须相等，即取0的概率在某个N后必须为0。前者限制其尾部概率收敛至0，但后者限制尾部概率为0。

结论：(1)几乎处处收敛和Lp收敛最强，依概率收敛其次，依分布收敛最弱。(2)几乎处处收敛和Lp收敛并无推导关系。(3)在收敛到常数时，依概率收敛和依分布收敛等价。