初学讲义之高中数学十八：复数

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下面是正文：

复数很简单

在解一元二次方程 ax^{2}+bx+c=0 时，用到根的判别式： \Delta=b^{2}-4ac

当 \Delta＞0 时，方程有两个不相等的根

当 \Delta=0 时，方程有一个根（或两个相等的根）

当 \Delta＜0 时，方程没有根

以上讨论是在实数范围内

这里很重要的一点，就是根号 \sqrt{\Delta} 里面的东西不能为负

那么如果里面的东西为负了，该怎么办呢？

在实数范围内，我们称它没有意义

现在，我们强行赋予它意义，具体什么意义后面再讲

我们规定：

i=\sqrt{-1}

i 叫作虚数单位

这样，所有根号下的负数都可以用 i 来表示

比如 \sqrt{-2} 可以写作 \sqrt{2}i

\sqrt{-25} 可以写作 \sqrt{25}i，也就是 5i

\sqrt{-18} 可以写作 \sqrt{18}i ，也就是 3\sqrt{2}i

也就是根号下的任何一个负数 \sqrt{-a} (a>0)

都可以看做是 \sqrt{a*(-1)}=\sqrt{a}*\sqrt{-1}=\sqrt{a}i

这样一个实数乘以i构成的数字叫作虚数

虚数是与实数相对应的

可以这么认为：

实数是实际存在于我们的真实空间的，比如整数就是我们用来数数的12345

整数互相相除得到的都是有理数（分数）

不能用分数表示的一些实数（比如π，e）就是无理数

虚数不存在于我们的真实空间，而是另一个“虚拟”的空间

它与整数差不多，只是多了一个“虚”的符号i

符号i的作用相当于把实数变“虚”了

就像是把现实中的物体放进镜子里的虚拟世界一样

实数和虚数组合在一起，就构成了复数

由于实数和虚数是在不同的“空间”里，因此它们也要分别表示

因此复数表示为：

a+bi （a、b为实数）

这里a叫作实部，b（不是bi！）叫作虚部

当b=0时，0i=0复数就是a，也就是实数

当b≠0且a≠0时，这个复数也叫虚数

当b≠0且a=0时，复数就是bi，没有实数部分，叫作纯虚数

复数a+bi可以看做是关于i的多项式，实部就是常数项，虚部就是i的系数项

1. 加法和减法

两个复数相加，只要将实部和实部相加，虚部与虚部相加即可，即：

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i （a、b、c、d为实数）

复数的加法也符合交换律、结合律，与实数的加法类似，非常简单

两个复数相减，只要将实部和实部相减，虚部与虚部相减即可，即：

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i （a、b、c、d为实数）

复数的减法就是加法的逆运算，与实数的减法类似

复数相等：

如果两个复数相等，则它们的实部和虚部分别相等。

反之，如果两个复数的实部和虚部分别相等，则这两个复数相等。

(a+bi)=(c+di)等价于a=c且b=d

2. 乘法与乘方

复数的乘法也很简单，可以看做是两个关于 i 的多项式相乘：

(a+bi)*(c+di)

=a*c+a*(di)+(bi)*c+(bi)*(di)

=ac+adi+bci+bd i^{2} (由于i=\sqrt{-1}，因此i^{2}=-1)

=ac+adi+bci+bd(-1)

=(ac-bd)+(ad+bc)i

这里要注意的就是加减号别搞错了

复数的乘法也满足交换律、结合律、分配率，证明很简单不再给出

复数乘方与实数的乘方类似：

(a+bi)^{2}

= (a+bi)*(a+bi)

=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i

复数的乘方也满足

z^{m}*z^{n}=z^{m+n}

(z^{m})^{n}=z^{m*n}

(z_{1}*z_{2})^{m}=z_{1}^{m}*z_{2}^{m}

证明很简单不再给出

3. 除法

复数的除法原理很简单，但是计算要稍微复杂些

求(a+bi)/(c+di)

我们设结果为x+yi

只需要解方程 (a+bi)=(c+di)(x+yi) 即可

也就是方程组 cx-dy=a

cy+dx=b

解得 x=(ac+bd)/(c^{2}+d^{2})

y=(bc-ad)/(c^{2}+d^{2})

这个结论没必要背，现场推导很简单。

或者把除法看做是分数，直接在分子和分母上同时乘以分母的共轭复数，把分母化成实数也可以。

(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]=(ac+bd)/(cc+dd)+i*(bc-ad)//(cc+dd)

4. 开方和对数

复数的开方与除法类似，就是解方程，但是方程很难解，所以不需要掌握

复数的对数不需要掌握

小结

总的来说，复数的基本运算很简单，把它当做是关于i的多项式进行计算即可

记得 i^{2}=-1

现在来探讨复数的几何意义

每组唯一的a、b，确定唯一的复数a+bi

是不是和平面直角坐标系很像？

每组唯一的a、b也确定平面中唯一的点（a，b）

并且，平面直角坐标系中横坐标和纵坐标是相互独立、可以互相转化的，复数中的实部与虚部也是相互独立、可以互相转化的

复平面

在平面上画两条互相垂直的数轴，把它们的交点定义为各自的0点，再分别规定好正方向，就构成了————平面直角坐标系

也可以是复平面

通常，我们定义横着的那条数轴（平面直角坐标系中的x轴）叫作实轴，向右为正方向

竖着的那条数轴（平面直角坐标系中的y轴）叫作虚轴

每个虚数a+bi和复平面上的点（a，b）一一对应

这里a就是它在实轴上对应的值，b就是它在虚轴上对应的值

复数的加法和减法

一组坐标（a，b）除了可以表示点以外，还可以表示向量

虚数的加法和减法与向量的加法和减法类似

实部+实部对应横坐标+横坐标

虚部+虚部对应纵坐标+纵坐标

互不干扰

复数的模

向量（a，b）的模定义为 \sqrt{a^{2}+b^{2}} ，也就是向量的大小

这里定义复数a+bi的模也是\sqrt{a^{2}+b^{2}} ，或者叫复数的绝对值|a+bi|

如果b=0，那么它的绝对值就是 \sqrt{a^{2}} ，和之前学实数的绝对值是一样的

（1）复数的模有几个很好用的性质，

|z_{1}*z_{2}|=|z_{1}|*|z_{2}|

这个分别设两个复数a+bi和c+di，很容易证明

（2）用同样方法容易证明：

|z_{1}/z_{2}|=|z_{1}|/|z_{2}|

用数学归纳法结合（1）很容易证明：

|z^{n}|=|z|^{n}

共轭复数

规定实部相同，虚部互为相反数的两个复数，互为共轭复数，它们互相共轭，即

a+bi和a-bi互为共轭复数

共轭复数的模相等（ \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{a^{2}+(-b)^{2}} ）

共轭复数的乘积等于它们的模的平方（ (a+bi)*(a-bi)=a^{2}-(bi)^{2}=a^{2}+b^{2} ）

共轭复数在复平面中关于实轴镜面对称（很容易想象）

共轭复数其实只是一个概念，没有什么太多的内容

到这里，i好像除了作为一个符号，把虚部和实部“隔离”开来，好像也没什么意思

在复平面上，它有一个几何含义：

任意复数乘以i，就是将它逆时针旋转π/2，乘以 i^{2} 就是旋转π......以此类推

乘以 i^{n} 就是逆时针旋转 nπ/2

来看4个复数：

a+bi

-b+ai

-a-bi

b-ai

其中

-b+ai=(a+bi)*i

-a-bi=(a+bi)*i^{2}

b-ai=(a+bi)*i^{3}

把这四个复数转化为对应的向量：

(a,b)

(-b,a)

(-a,-b)

(b,-a)

依次逆时针旋转π/2

下面是具体的例子：a=4，b=2

其他

由于i的特殊性质：

i^{1}=i

i^{2}=-1

i^{3}=-i

i^{4}=1

构成一个一4为周期的循环

虚数经常出现在等比数列有关的题目中

练习：

请自行列出下面两个数列的前8项，并找规律

a_{n}=[(1+i)/2]^{n}

b_{n}=(1-i)^{n}/2

总的来说，复数的内容相对简单且孤立，通常是单独出现，考察最多的是关于复数基本定义基本性质的数学计算

复数较多出现的综合题目是在等比数列中，考察 i 的特殊性质，但往往也很简单

复平面和平面直角坐标系没有本质区别，只是多引入了个 i，可以视作对向量进行操作的算符

与i直接相乘是最简单的逆时针旋转π/2，（更简单的是与1相乘，什么都没变）

任何向量（p，q）与复数a+bi相乘，相当于做了一个数学上的旋转+拉伸变换，如果|a+bi|=1，相当于只做了旋转，可能是一个考点。