limx^α(lnx)^β=0公式的推导 | 您所在的位置:网站首页 › lnx趋于0正为什么是无穷 › limx^α(lnx)^β=0公式的推导 |
在做题的时候,我们经常会遇到需要求这么一个极限 lim x → 0 + x α ( ln x ) β ( α , β > 0 ) \lim_{x \to 0^+} x^\alpha (\ln{x})^\beta \qquad (\alpha,\beta > 0) x→0+limxα(lnx)β(α,β>0) 虽然很多老师和教辅资料直接给出了结论,但是并没有给出推导,只是用指数比对数增长的快这样含糊一句话盖过去了,下面我们来给出结论和推导。 结论lim x → 0 + x α ( ln x ) β = 0 , 其 中 α , β > 0 \lim_{x \to 0^+} x^\alpha (\ln{x})^\beta =0 ,其中 \alpha ,\beta > 0 x→0+limxα(lnx)β=0,其中α,β>0 推导lim x → 0 + ( ln x ) β x − α = 洛必达 lim x → 0 + β ( ln x ) β − 1 ⋅ 1 x − α x − α − 1 = lim x → 0 + β ( ln x ) β − 1 − α x − α = ⋯ = 0 \underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\left( \ln x \right) ^{\beta}}{x^{-\alpha}}\xlongequal{\text{洛必达}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\beta \left( \ln x \right) ^{\beta -1}\cdot \frac{1}{x}}{-\alpha x^{-\alpha -1}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\beta \left( \ln x \right) ^{\beta -1}}{-\alpha x^{-\alpha}}=\cdots =0 x→0+limx−α(lnx)β洛必达 x→0+lim−αx−α−1β(lnx)β−1⋅x1=x→0+lim−αx−αβ(lnx)β−1=⋯=0 洛一次 l n x lnx lnx的指数就减少1,一直洛到指数 ≤ 0 \le0 ≤0 下面来举些例子说明: 当 α = 1 , β = 2 时 \alpha=1,\beta =2时 α=1,β=2时 lim x → 0 + ( ln x ) 2 x − 1 = 洛必达 lim x → 0 + 2 ln x ⋅ 1 x − x − 2 = lim x → 0 + 2 ln x − x − 1 = lim x → 0 + 2 ⋅ 1 x x − 2 = lim x → 0 + 2 x = 0 \underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\left( \ln x \right) ^2}{x^{-1}}\xlongequal{\text{洛必达}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{-x^{-2}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\ln x}{-x^{-1}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\cdot \frac{1}{x}}{x^{-2}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}2x=0 x→0+limx−1(lnx)2洛必达 x→0+lim−x−22lnx⋅x1=x→0+lim−x−12lnx=x→0+limx−22⋅x1=x→0+lim2x=0 当 α = 2 , β = 2 时 \alpha=2,\beta =2时 α=2,β=2时 lim x → 0 + ( ln x ) 2 x − 2 = 洛必达 lim x → 0 + 2 ln x ⋅ 1 x − 2 x − 3 = lim x → 0 + ln x − x − 2 = lim x → 0 + 1 x 2 x − 3 = lim x → 0 + 1 2 x 2 = 0 \underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\left( \ln x \right) ^2}{x^{-2}}\xlongequal{\text{洛必达}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{-2x^{-3}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\ln x}{-x^{-2}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\frac{1}{x}}{2x^{-3}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{1}{2}x^2=0 x→0+limx−2(lnx)2洛必达 x→0+lim−2x−32lnx⋅x1=x→0+lim−x−2lnx=x→0+lim2x−3x1=x→0+lim21x2=0 |
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