关于函数 f(x)＝x－lnx－m 的零点问题，无法用极值点偏移解决，如何处理？

在知乎经常眼熟的导数题，今天来写写过程吧，还能顺便得到一系列有趣的结论~

首先直接地给出两个基础结论(经典极值点偏移结论)：

{x_1x_22}}\tag{1}

\left( 1-\frac{1}{x_1} \right) \mathrm{d}x_1=\left( 1-\frac{1}{x_2} \right) \mathrm{d}x_2=\mathrm{d}m \tag{2}

和结论（1）可得：

\frac{\text{d}f_1}{\text{d}x_1}=\frac{1-\frac{1}{x_1}}{1-\frac{1}{x_2}}+\frac{1}{x_1}=\frac{1-\frac{1}{x_1x_2}}{1-\frac{1}{x_2}}f_1\left( x_1 \right) >f_1\left( 1 \right) =1 ，于是：

\color{blue}{x_1+x_2>m+1}\tag{3}

2m=x_1+x_2-\ln \left( x_1x_2 \right) \tag{4}

易知 x_1x_2 随 x_1 增加而增加的同时有：

\frac{\text{d}f_2}{\text{d}\left( x_1x_2 \right)}=\frac{\text{d}\left( \ln x_1x_2-x_1x_2 \right)}{\text{d}\left( x_1x_2 \right)}=\frac{1}{x_1x_2}-1>0

于是 f_2\left( x_1x_2 \right) \begin{align} \frac{\text{d}f_3}{\text{d}x_1}>0&\Leftrightarrow m+1>\frac{\left( 1-x_1 \right) \left( x_2-1 \right)}{x_1+x_2-2} \\ &\Leftarrow m+1>\frac{x_1+x_2-x_1x_2-1}{m-1} \\ &\Leftarrow m^2-1>2m-2 \\ &\Leftrightarrow \left( m-1 \right) ^2>0 \end{align}

所以 f_3\left( x_1 \right) \frac{\ln \left( x_1x_2 \right) +1}{x_1x_2} \end{align}

于是:

{x_1+x_2f_51>\frac{1}{2}+\frac{\ln \left( x_1x_2 \right) +1}{2x_1x_2}

这其实表明，如果我们再设 f_6=f_1^2-m ，就有：

\frac{\text{d}f_6}{\text{d}f_1}=2f_1-\frac{\left( 1-x_1 \right) \left( x_2-1 \right)}{1-x_1x_2}\frac{\text{d}f_6}{\text{d}x_1}=\frac{\text{d}f_6}{\text{d}f_1}\frac{\text{d}f_1}{\text{d}x_1}>0

得 f_6\left( x_1 \right) g_7^{\left( 3 \right)}\left( x \right) =\frac{2}{x^2}\int_1^x{\left( \frac{x-1}{x} \right) ^2\text{d}x}>0 , g_7''(1)=g_7'(1)=g_7(1)=0

结论易证。

也即：

\color{red}{\left( x_1+x_2 \right) x_1x_2