同济大学第七版《高等数学》是好教材吗？

        忙着到周末终于有时间发个专栏了。简单说说我作为数学系的学生是怎么看待同济大学第七版《高等数学》（以下简称“高数”）这本教材的。请注意，这本书之所以能评上奖，教育部给出的理由是：它是一本非常适合“工科”使用的高等数学教材，而我作为理科生，更多的是通过自己对工科的理解来进行评判，所以并不是完全正确的。

一.《高等数学》真的好吗？

        高等数学作为其他理工科专业课的奠基，最重要的一点是：教会别人使用微积分这个工具。高数的正文中，很多地方都表现出对使用的重视。例如，在1.3节函数极限中，函数极限的定义是这样的：

        这里括号里备注了不论正数ε有多么小，都存在δ满足式子，这里对于熟悉ε-δ语言的数学系学生，是完全不需要这个备注的。编书者出于让初识ε-δ语言的工科学生熟悉这套说法的目的，不仅在开篇直观表示ε-δ语言是如何说明函数极限的，而且在定义中刻意备注这一点，又在后面的定义中反复强调这个结果。这说明高数编写者提醒读者务必明确ε任意小这个条件。但是，在这本书中并没有介绍函数极限是如何引入的，只在第二节的开头用刘徽的“割圆术”来引入ε-δ语言：

        如此反映的便是编写者对于“实用性”的强调：编写者在向读者强调使用它的注意事项，而并没有强调我们为什么要使用它。通俗的说便是：你知道怎么用这个工具是最重要的，而不需要特别清楚它为什么来的。

        如果编写者抱着“读者只需要拿着微积分直接算就行，对定理证明什么的完全不需要知道”这样的想法，对于简单的模仿的计算，那是肯定足够的，但是一旦超越了模仿，来到了实际应用中，这样的想法就会对工具的使用起到负面的影响。比如说，当读者看到书中使用折线长度逼近圆的周长的时候，如果书中没有讲解为什么可以逼近，那么读者就有可能简单的下定论：任何“我用手画出来的一个闭的曲线的长度”（这里严谨的表述是正则简单闭曲线）都可以用折线的周长逼近；或者更进一步，任何一个立体图形的面积都可以用平面围成的面积逼近。它是对的吗？如果你不清楚原理，只是凭借自己的几何直观认为这是对的，那你就中招了。其实分号后面的结论是错误的（Schwarz灯笼），更一般的，逼近“表面积”这回事，只有在二维Euclid空间中才是成立的。

        对于高数来说，ε-δ语言贯穿本书的始终，如果没有在开篇给读者讲明为什么要引入ε-δ语言，而只是直观的让读者感受，紧接着便是一堆纷繁复杂的定义，那么读者并不能对微积分学有着整体、深刻的理解，也就难以从根本上接受这种语言了。

二.什么教材才称的上是好的教材？

        我认为，评价一本大学数学教材是一本好教材，最重要的指标是完整和边界感。完整是说，这本教材中的所有的知识体系必须是完整的，也就是说，教材必须把概念的核心讲透，在关键的地方绝对不能含糊其次，或者使用几何直观一笔带过。边界感是说，编写者在围绕核心概念进行讲解时，必须要针对读者进行内容的取舍，在完整的前提下，有主次，有层次的介绍相关的衍生概念。比如说Stein的《Complex Analysis》中，介绍Jordan曲线定理时使用到了代数拓扑的知识，这里便将其放在附录中以保证内容的完整。

        我认为高数不能称之为优秀的数学教材，是因为高数没有做到完整。高数作为工科数学教材，介绍微积分学的应用是最重要的目的，但是这不代表读者不需要完整的了解微积分学的根基：ε-δ语言。事实上，这是中国绝大多数教材的通病：重边界感而轻完整性。与其说这些是大学教材，不如说它更像一份讲义，只有知识点，例题和习题，而没有对历史，原因的介绍。“工科数学不需要知道原理”很大程度上源自人们的误解。长此以来，中国的数学教育急功近利，教材很少介绍背景，原理知识，过分强调应用，导致相当比例接受义务教育的学生经过功利的数学教育，完全不了解数学的发展，盲目做题，甚至产生数学无用的想法，这很大程度上都是教育追求“短平快”的结果。事实上，现代数学的根基，都是建立在严格的逻辑推导上的。ε-δ语言，是建立在实数理论的基础上的。高数作为工科教材，当然重心不必在实数理论的建立上，但它有必要向读者阐明，这些理论都是有支撑的，并不是从天而降的结果，而是近百年来无数数学家经过完善而形成的语言。高数教材作为读者学习微积分学的直接媒介，有必要向读者完整的介绍整个知识体系，而并非将笔墨完全偏向于使用。

三.我的一些修改意见

        其实分析到这里，修改意见已经呼之欲出了。增加有关实数理论的介绍，微积分学由来的介绍，让读者明确自己正在学习的内容是什么，有什么意义，而不是简单的堆砌概念，例题与习题。在这里必须强调，高数是教材而不是讲义。教材有必要完整的阐述理论体系，而讲义只是老师上课的辅助工具。如果你认为：大部分读者都不会关注历史，这么做纯粹是浪费精力。那我只能说：一直如此，便对吗？