常用求极限的方法

1. 两个重要的极限 （1）. lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim\limits_ { x \rightarrow 0} \frac {\sin x }x = 1 x→0lim​xsinx​=1 （2）. lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 n = e \lim\limits_ { x \rightarrow \infty } {( 1+ \frac 1x )} ^x = \lim\limits_ {x \rightarrow 0 } {( 1 + x )}^{\frac 1n} = e x→∞lim​(1+x1​)x=x→0lim​(1+x)n1​=e 例子：求极限 lim ⁡ x → ∞ ( x + 1 x − 1 ) x \displaystyle\lim\limits_{ x \rightarrow \infty }{ \left ( \frac {x+1} {x-1} \right ) }^x x→∞lim​(x−1x+1​)x

解： lim ⁡ x → ∞ ( x + 1 x − 1 ) x = lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 2 x − 1 ) x = lim ⁡ x → ∞ [ ( 1 + 1 x − 1 2 ) x − 1 2 ( 1 + 2 x − 1 ) 1 2 ] 2 = e 2 \lim\limits_{ x \rightarrow \infty }{\displaystyle \left ( \frac {x+1} {x-1} \right ) }^x \\ = \lim\limits_{x \rightarrow \infty } {\displaystyle \left ( 1 + \frac 2 {x-1} \right )^x }\\ = \lim\limits_ {x \rightarrow \infty } { \left [ \left ( 1 + \displaystyle\frac 1{\displaystyle\frac {x-1} 2 } \left ) ^ {\displaystyle\frac {x-1} 2} \right (1 + \frac 2 {x-1} \right ) ^{\displaystyle\frac 12} \right ]^2 }\\ = \displaystyle e^2 x→∞lim​(x−1x+1​)x=x→∞lim​(1+x−12​)x=x→∞lim​⎣⎢⎢⎢⎢⎡​⎝⎜⎛​1+2x−1​1​⎠⎞​2x−1​⎝⎛​1+x−12​⎠⎟⎞​21​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​2=e2

2. 等价无穷小 当 x → 0 x \rightarrow 0 x→0 时， sin ⁡ x \sin x sinx ~ x tan ⁡ x \tan x tanx ~ x ln ⁡ ( x + 1 ) x \ln (x + 1) xln(x+1) a x a^x ax - 1 ~ x ln ⁡ a x \ln a xlna ( 1 + b x ) a − 1 ( 1+ bx )^ a - 1 (1+bx)a−1 ~ a b x abx abx x − sin ⁡ x x - \sin x x−sinx ~ x 3 6 \displaystyle\frac {x^3 }6 6x3​ tan ⁡ x − x \tan x - x tanx−x ~ x 3 3 \displaystyle\frac {x^3 }3 3x3​ tan ⁡ x − sin ⁡ x \tan x - \sin x tanx−sinx ~ x 3 2 \displaystyle\frac {x ^3}2 2x3​ 注意：等价无穷小一般只在乘除中使用 （隐藏boss）：加减中可以整体替换，但不能单独替换。 前提条件： lim ⁡ α ′ β ′ ̸ = − 1 \displaystyle\lim \frac{\alpha '}{\beta '} \not= -1 limβ′α′​̸​=−1 \quad 则 α + β \alpha + \beta α+β ~ α ′ + β ′ \alpha '+ \beta ' α′+β′ 即替换后的结果没有抵消 例子：求 lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x + sin ⁡ x 3 x \displaystyle\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac {\tan x + \sin x} {3x} x→0lim​3xtanx+sinx​ 解： lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x + sin ⁡ x 3 x = lim ⁡ x → 0 x + x 3 x = 2 3 \displaystyle\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac {\tan x + \sin x} {3x}\\ = \lim\limits_ {x \rightarrow 0 } \frac { x + x} {3x}\\ = \frac 23 x→0lim​3xtanx+sinx​=x→0lim​3xx+x​=32​ 这里把 tan ⁡ x + sin ⁡ x \tan x + \sin x tanx+sinx替换成 x + x x + x x+x后，得到 2 x 2x 2x,此时结果没有抵消，可以使用。 例子：求 lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x − sin ⁡ x 3 x \displaystyle\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac {\tan x - \sin x} {3x} x→0lim​3xtanx−sinx​ 解： lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x − sin ⁡ x 3 x = lim ⁡ x → 0 x 3 2 3 x = 0 \displaystyle\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac {\tan x - \sin x} {3x}\\ = \displaystyle\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac {\displaystyle\frac {x^3} 2} {3x}\\ = 0 x→0lim​3xtanx−sinx​=x→0lim​3x2x3​​=0 如果这里把 tan ⁡ x − sin ⁡ x \tan x - \sin x tanx−sinx替换成 x − x x - x x−x后，式子抵消，得到 0 的结果，所以不能替换。 3.利用夹逼性定理求极限 例子：求 ( 1 + n n 2 (\displaystyle\frac {1+n}{n^2} (n21+n​) 的极限 1 n ; 1 + n n 2 ≤ 2 n n 2 = 2 n \frac 1n ; \frac {1+n} {n^2} \leq \frac {2n} {n^2} = \frac2n n1​