求极限的6大方法，良心文章

声明：本文为原创文章，首发于微信号“湖心亭记”

看到某些书籍或者有人总结的求极限的方法，笔者不禁打了一个寒颤！有的甚至总结了20多种方法，甚至把什么分子分母有理化、初等函数直接代入法都给算作了一种方法。笔者觉得，记那么多方法不累吗？？而且像什么初等函数直接代入法、因式分解法之流的方法都不能算作方法，顶多算作做题时的一种技巧而已。做题多了，自然而然就熟能生巧，根本不需要专门当做一种方法来记，否则那么多方法，又乱又臭，脑袋还不得爆炸啊。因此有笔者今天就把求极限的非常常用的方法给大家梳理一下。

正儿八经真正求解极限的方法有6种最常用的，大家只要把这6种做到了然于胸，每次做题时都能在脑海中过一遍这6种方法，则做题基本无大碍了。

题外话：笔者想表达是，其实许多方法并不难。但是为什么还有那多同学在做题时还是不会，感觉没思路，没方向，凌乱不堪。本质无外乎对知识掌握的不熟练，方法练习不到位，脑海里对练习过的方法还是一团浆糊。因此常常梳理自己的知识，使其条理清晰，达到做题时烂熟于胸，立刻就能闪现，这基本上就不会再慌张了。

首当其冲的自然是两个重要极限。这个没话说，必须记住。如下：

① \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\]

② \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e\] 或 \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\]

注意：

（1）对于第一个极限而言，只要满足 \[\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{\sin \Delta }}{\Delta }\] ，且 \[\mathop {\lim }\limits_{} \Delta = 0\] 的形式，它的极限就都是1。

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（2）对于第二个极限，实际上只要满足以下两点，其极限都是e：

1、类型为”1^∞”，也就是说括号里的极限应该为1，上标的极限应该为∞。

2、形式为 \[{\left( {1 + \frac{1}{\Delta }} \right)^\Delta }\] ，也就是说括号里面的三角形块的部分要与括号外面的三角形块成倒数关系。

具体咱们来看两道例题吧。

例1： \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{3x}} = 1\] 。

例2：求极限 \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2x + 3}}{{2x + 1}}} \right)^x}\]

解析：仔细观察这个式子，当x趋于无穷的时候，括号内的极限为1，上标极限为无穷，显然属于1^∞类型。所以我们将其配凑成标准形式 \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{\Delta }} \right)^\Delta }\] 即可。如下

\[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{{2x + 1}}} \right)^x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{2}{{2x + 1}}} \right)}^{\frac{{2x + 1}}{2}}}} \right]^{\frac{{2x}}{{2x + 1}}}}\\ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x}}{{2x + 1}}}}\\ = e \end{array}\]

等价替换又称为等价无穷小替换。具体常用替换如下：

当x趋近于0时，有：

① sinx ~ x，tanx ~ x，arcsinx ~ x，arctanx ~ x

②1-cosx ~ (1/2)x^2 ， a^x-1 ~ xlna ，e^x-1 ~ x

③ln(1+x) ~ x ，(1+x)^a-1 ~ ax

其中注意两点即可：

（1）等价无穷小替换只在乘除式中使用。

（2）可整体代换，例如(1+3x)^a-1 ~ 3ax

只要善于使用等价无穷小替换，往往使式子变得十分简洁。来看两道例题吧。

例3：求 \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + \sqrt {\sin x} )}}{{\sqrt {\tan x} }}\]

解析： \[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + \sqrt {\sin x} )}}{{\sqrt {\tan x} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {\sin x} }}{{\sqrt {\tan x} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }}\\ = 1 \end{array}\]

例4：求极限 \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\sin x}} - {e^{\tan x}}}}{{\sin x - \tan x}}\]

解析：如下：

\[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\sin x}} - {e^{\tan x}}}}{{\sin x - \tan x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\tan x}}({e^{\sin x - \tan x}} - 1)}}{{\sin x - \tan x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\tan x}}(\sin x - \tan x)}}{{\sin x - \tan x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^{\tan x}}\\ = 1 \end{array}\]

这个准则虽然简单，但是许多人在做题的时候都会忘记了。

例5：求极限 \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x}\sin 3x\]

解析：当x趋近于无穷时，1/x为无穷小，sin3x为有界量（不大于1），因此该极限为0。

这个就不必细说了吧。主要有0/0型和∞/∞两种类型。遇到了求导即可。

举个例题吧。如下

例6：求 \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (x + 1)}}{x}\]

解析：用洛必达法则来求一下，属于0/0型。如下

\[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (x + 1)}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{x + 1}}\\ = 1 \end{array}\]

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