朗道能级量子化与整数量子霍尔效应（1）

朗道能级量子化与整数量子霍尔效应分两次聊聊。第一次先在实验上介绍现象，并且在理论上从四个不同的角度来解释实验上为什么测到的平台量子化那么好。

第二次是一些引申的一点细节

1980 年 von Klitzing 在 MOSFET 反型层中发现了IQHE。用的 hall bar 构型如下图所示，源漏通电流，测 Rxx，Ryx。实验上是加低频交流电，用小电流锁相技术测量。下图是固定磁场，扫 gate 改变载流子浓度。可以看到在某些载流子浓度区域内 Rxx 掉 0，Ryx 出现平台。

如果固定载流子浓度，扫磁场测到的 Rxx 和 Ryx数据长这样

输运实验整体上关心的有两个非常重要的参数，一个是载流子浓度，另一个是迁移率。下图非常清楚的表面了第一点，对应 QHE 来说，处于10^10~10^12次方的电子浓度，介于金属和绝缘体之间，大概是比较低的半导体载流子浓度。载流子浓度的大小大致决定了体系相互作用的强弱以及可能的对称性破却相。迁移率则大致确定了我们能看到多本征的东西，如果迁移率非常低，电子自由程非常小，那么到了低温基本上都是 disorder physic，局域化的现象，并没有太多有趣的东西。量子输运的发展史，某种程度上就是和 disorder 斗争，提高迁移率的过程。

特别在磁输运现象中，载流子迁移率非常重要，就是单位电场下载流子速度大小，这个量越大意味着体系约干净，杂质越少，平均自由程越大，以下所有 mobility 的单位是cm^2/Vs。有趣的是，mobility 和磁场的乘积是无量纲数，标志着可能出现不同磁输运现象的区域。

随着磁场变大，会出现以下现象。

样品在强磁场下会形成 LL 并且量子化并不是很稀奇的事，实验室磁场就 10T 量级，从以上分析可以看到，关键的是 mobility 有多少，很容易估计，10^4的样品就能走到上述第4 步（如 2005 年最早的单层石墨烯量子化），10^6的样品就能看到 FQHE（例如上世纪 MBE 长的 GaAs 和 AlGaAs 井，还有 2013 年用 hBN 做衬底的单层石墨烯）。实际上，能做到这么高 mobility 的材料非常之少，例如 MBE长的拓扑绝缘体和 QAH 样品只有几百的迁移率。

单层石墨烯中也有类似的量子化行为，下面是固定磁场变化载流子浓度的数据[1]，可以更加清楚看到每个LL 的填充情况。

由于LL 是电子轨道运动形成的，写成哈密顿量的话就是耦合进正则动量里，因此形成什么样的 LL 取决于原本的色散关系啥样。例如最简单的自由空间的 LL，能量是(n+1/2)eB/m，是等间距的，而且 gap正比于 B。但是例如在石墨烯里，它原本低能色散是线性的，是狄拉克电子，只不过光速换成了费米速度，这时它的 LL 就和之前抛物线的色散关系不一样，进而看到的霍尔电阻量子化、LL gap 随 B 的变化也不太一样了。简单来说，单层石墨烯近似有电子空穴对称性（PHS），因此它不仅有n>0的 LL，还有 n=0和 na 图是 2DEG，b 是双层石墨烯，c 是单层石墨烯。g是每个 LL 的简并度。

不同材料不同 LL 的共同点在于，一个 LL 上能填电子的数目是固定的，总是B/(h/e)，其中(h/e)是量子磁通，这一点很有意思。因此，在画 landau fan 时，通过斜率就能知道是第几个 LL 了。下面给出Landau fan 的图[3], 横轴是电子浓度，纵轴是磁场，颜色越黄是电容越大，电容越大近似可以看出态密度越大，因此可以看出各个不同的 LL。换成电阻测量也是类似的，横轴和纵轴都不变，只把颜色换成 Rxx就好。

如何理解量子化的电导？

有四种角度来理解。第一种是来自1981 年 Laughlin利用 gauge invariant 给出的解释[5]，后来 Halperin 补充了 disorder 等等的细节[6]。第二种是1982 年 TKNN 的文章，从 Kubo 方程，线性响应出发具体计算磁布里渊区的陈数[7]。第三种是更加现代的观点，认为朗道能级会有 chiral 的quasi 1dimensional 边缘态，从 Landuear 方程出发，这些每个边缘态都带一个量子电导，这种观点对理解后来的 QAH，QSH 的各种实际的 device 的local，non-local 测量在实验上更重要些。第四种主要是 Chern Simon 理论。

1981 年 Laughlin 和 Halperin 的观点。这个观点和杨振宁1961 年讨论超导磁通量子化的文章精神上非常类似。如下图所示，2 维金属做成一个 ribbon，加垂直平面的磁场，形成一个个朗道能级，考虑有杂质的话，能级展宽，有 mobility edge。电流和A 的关系

I=c \frac{\partial U}{\partial \phi}=\frac{c \partial U}{L \partial A}

考虑无相互作用电子气，零温费米分布的一个 step function。如果所有的电子都 localise，那么改变 A 只不过是把每个电子波函数都locally乘一个相位，整个系统的能量不会发生变化。如果有extended 的电子态，那么改变 A 它会感受到远处 boundary condition 的变化，进而态的能量和系统的能量会发生变化。（这一点和 1961 年杨振宁 paper 里考虑超导波函数因为长程相位关联有相位的刚性，因此超导磁通是量子化的非常类似）

因为是非相互作用电子气，因此它的周期是

A=n \frac{h c}{e L}

如果用 Landau gauge 去解二维 ribbon 上的波函数，是 x 方向的平面波和 y 方向 localize 在 y0 的一个简谐振子。其中 y0

y_{0}=\frac{1}{\omega_{c}}\left(\frac{\hbar k}{m^{*}}-\frac{c E_{0}}{H_{0}}\right)

当 y_{0} \rightarrow y_{0}-\frac{\Delta A}{H_{0}} ，把 A 绝热地增加一个周期，那么这些 y0 也会跟着移动，虽然整体看在一个循环之内没有变化，但是在两个边界，可以净传递了 n 个电子，由周期性的要求，n一定是一个整数。从而电导是量子化的。

I=c \frac{n e V}{\Delta \phi}=\frac{n e^{2} V}{h}

Laughlin 的观点简单总结起来，就是由于 extended 波函数的存在，类似于超导波函数的刚性，整个系统类似一个 pump。（一点 subtle 的地方，在 2 维由于localization scaling 的限制，能保证在某些杂质浓度下有 extended 的波函数吗？）Laughlin 是直接从A 作用到 edge state的角度直接得到量子化电导的，其实对 bulk 完全没有计算，只是要求是无相互作用电子气，而且有 mobility gap。这也留下了一些疑问，第一个是，按照 Laughlin 的观点，所有 gap 的，有 extended 波函数的无相互作用电子系统的霍尔电导都是量子化的，如果在朗道能级内部还有别的（非相互作用） gap，例如磁布里渊区让原本的布里渊区变小，一个 band 变成多个 band，那么如果费米能在新的 band 之间的 gap中间，也会是量子化电导，而 Lauglin 并没有给出这个量子化的整数是多少。某种意义上说，Laughlin 只能算是一个 arguement，一个说明为什么量子化的框架或者捷径，他并没有计算量子化的 n 是多少。第二个问题，如果在有相互作用的系统中，我们知道分数霍尔效应电导是分数化的，Laughlin 这个 arguement 的前提假设就不对了。

1982 年 TKNN 的观点。它和Laughlin是观点可以说是互补的，他们用 Kubo 方程严格计算了无相互作用电子气的霍尔电导，和布里渊区的陈数联系起来。在这些计算中，得到了磁布里渊区中非常丰富的结构。一些具体的计算和引申的蝴蝶在下一部分里会讲到。

\sigma_{\mathrm{H}}=\frac{i e^{2}}{A \hbar} \sum_{\epsilon_{\alpha}

edge channel 的观点更容易拓展。在现代拓扑绝缘体的理论中，由于 bulk edge correspondence 的存在，绝缘的 bulk，让 hall bar 构型的输运完全受拓扑保护的 edge channel决定。如果在 QH regime，在源漏中间插入多少个电极，测的 Rxx 都是 0，Ryx 都是量子电导。如果是 QAH，中间电极的电势分布会随着磁矩的方向系统性的变化。如果是 QSH，测到的电阻和源漏中间有多少段 float 的电极是有关的，因为中间哪怕有 float 的电极，也会让左右向的电子化学势拉平。

Chern Simon 理论

QH电导在理论上其实是计算电流-电流关联函数，这个量可以通过唯象地通过场论计算。如果不考虑微观细节，例如朗道能级之类的，只是从有效场论的角度出发，在 2+1 维时空的拉格朗日量中考虑加入破却 parity 和 time reversal 但是保持rotation symmetry 的 CS term，你会发现这个term 由于规范对称的要求，level 是量子化的，这正好会给出整数的霍尔响应。这部分可以参考一下其他人的quick answer，例如这个

1. Novoselov, K. S. et al. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene. Nature 438, 197–200 (2005).

2. Novoselov, K. S. et al. Unconventional quantum Hall effect and Berry’s phase of 2π in bilayer graphene. Nat. Phys. 2, 177–180 (2006).

3. Zibrov, A. A. et al. Even-denominator fractional quantum Hall states at an isospin transition in monolayer graphene. Nat. Phys. 14, 930–935 (2018).

4. Hasan, M. Z. & Kane, C. L. Colloquium : Topological insulators. Rev. Mod. Phys. 82, 3045–3067 (2010).

5. Laughlin, R. B. Quantized Hall conductivity in two dimensions. Phys. Rev. B 23, 5632–5633 (1981).6. Halperin, B. I. Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential. Phys. Rev. B 25, 2185–2190 (1982).7. Thouless, D. J., Kohmoto, M., Nightingale, M. P. & den Nijs, M. Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential. Phys. Rev. Lett. 49, 405–408 (1982).