【密码学竞赛】椭圆曲线上的计算（多倍点问题）

我们现在所要解决的问题是实数域上的椭圆曲线问题，故方程式为： y 2 y^2 y2= x 3 x^3 x3+ a x ax ax+b

1、已知点G=（2，7）在椭圆曲线E11（1，6）上，计算2G的值。 (1)已知椭圆曲线方程E11为： y 2 y^2 y2= x 3 x^3 x3+ x x x+6（mod 11) (2)求G与曲线相切时的斜率（即求导），得到直线方程 (3)将直线方程代入曲线方程，解一个三次方程

具体步骤及推导过程如下图所示：

关于分数求模的具体做法可以参考这篇文章。

在推导的时候我弄错了一件事，以致于怎么推导， y 3 y_3 y3​的符号都不对,那就是P+Q并不在PQ上，而是在-PQ上，即P+Q关于x轴的对称点在PQ上。

直线PQ的斜率为k。 k = { y 2 − y 1 x 2 − x 1 , P ≠ Q 3 x 2 + a 2 y , P = Q k=\left\{ \begin{array}{l} \frac {y_2-y_1}{x_2-x_1},P \neq Q \\ \frac{3x^2+a}{2y},P = Q \end{array} \right. k={x2​−x1​y2​−y1​​,P̸​=Q2y3x2+a​,P=Q​

P+Q的坐标 ( x 3 , y 3 ) (x_3,y_3) (x3​,y3​)为 { x 3 = k 2 − x 1 − x 2 y 3 = k ( x 1 − x 3 ) − y 1 \left\{ \begin{array}{l} {x_3}=k^2-x_1-x_2 \\ {y_3}=k(x_1-x_3)-y_1 \end{array} \right. {x3​=k2−x1​−x2​y3​=k(x1​−x3​)−y1​​