泰勒公式及应用翻译(原文)

On Taylor’s formula for the resolvent of a complex matrix

Matthew X. Hea, Paolo E. Ricci b,

_

Article history:Received 25 June 2007

Received in revised form 14 March 2008

Accepted 25 March 2008

Keywords:Powers of a matrix

Matrix invariants

Resolvent

1. Introduction

As a consequence of the Hilbert identity in [1], the resolvent 

)

(

A

R



= 

1

)

(







A



of 

a 

nonsingular 

square 

matrix 

A

(



denoting 

the 

identity 

matrix) is shown to be an analytic function of the parameter 



in any 

domain 

D 

with 

empty 

intersection 

with 

the 

spectrum 



A

of 

A

. 

Therefore, 

by 

using 

Taylor 

expansion 

in 

a 

neighborhood 

of 

any 

fixed 

D



0



, we can find in [1] a representation formula for 

)

(

A

R



using all 

powers of 

)

(

0

A

R



.

In this article, by using some preceding results recalled, e.g., in [2], we 

write 

down 

a 

representation 

formula 

using 

only 

afinite 

number 

of 

powers of 

)

(

0

A

R



. This seems to be natural since only the first powers of 

)

(

0

A

R



are linearly independent.The main tool in this framework is given 

by 

the 

multivariable 

polynomials 

)

,...,

,

(

2

1

,

r

n

k

v

v

v

F

(

,...

1

,

0

,

1





n

;

r

m

k





,...,

2

,

1

) 

(see 

[2

–

6]), 

depending 

on 

the 

invariants 

)

,...,

,

(

2

1

r

v

v

v

of

)

(

A

R



); 

heremdenotes 

the 

degree 

of 

the