考研数学

在线性代数中，求解矩阵的特征值与特征向量是考研的必考点，但是特征方程的求解却有一定技巧性，虽然一些代数定理可以帮助求解，但若没有观察出行列式的特点，就需要解一个三次方程从而浪费大量时间。

有这样一类的矩阵可以快速求出特征值，这涵盖了考研涉及到的大部分矩阵。包括以下三种，其中第三种是本文重点讲解的类型，因为它的应用非常广。

①三角矩阵

其特征值就是对角线的所有元素。

②秩为1的矩阵（所有行互相成比例的矩阵、单位矩阵、只有一个元素的矩阵）

其特征值为0  0   0   0 ···   tr(A)

②形如[b   a    a ]

           | a   b   a |

           [ a   a    b]的矩阵  总可以化为所有元素均为a的矩阵（rank=1）加上kE

其特征值为k  k  k  k···   tr(A)+k    由特征值也可以确定行列式的值。

③ 有一类矩阵设为A，它有二重特征值，那么它必能化为rank=1的矩阵B+kE的形式。

如果我们从考试的角度想，2021考研修改考纲之后，代数只有一道大题，必然将所有计算考进去。如果所求实对称矩阵是三个不同特征值，那么由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，便没有了正交化的过程。所以考研考的大概率是带有二重特征值的矩阵。

当然，这样显然风险是很大的，必须从正面判断它是否符合接下来探讨的使用条件。

关于标题，充分性的证明可以设矩阵A的特征值为1    ，则B的特征值就为0  0  

由相似的必要条件rB=1 即寻找出了秩为1的矩阵，它的特征值是可以直接求出的，在根据特征值的性质就可以求出A的特征值。其必要性的证明是十分简单的 此处从略。

下面定义一个名词“期望矩阵”：欲求其特征值的矩阵，保持其非主对角线元素不变，修改对角线元素使三行互相成比例，则称该矩阵为“期望矩阵”。

显然，期望矩阵B的秩为1. 它的特征值即为0  0  0···  tr（B）

对于有二重特征值的矩阵，总能寻找到一个k使得B+kE=A，那么A的特征值就求出来了。

但是仍然有两个待解决的问题：

①如何判断矩阵A有二重特征值？

矩阵A有二重特征值的充分条件是存在“期望矩阵B”，且能化成A=B+kE的形式，则说明矩阵有二重特征值。

②如何寻找k？

下面我将通过一道2021年考研数学一真题来说明这个问题。

显然可以修改主对角元素为1   1  1来构造期望矩阵，且其特征值为0  0  3

k的寻找，在于“补”，此题构造出的期望矩阵与原矩阵差了（a-1）E，

故此题有A=B+kE  此题的k就等于a-1

故A的特征值就为a-1  a-1  a+2.

A的特征向量也不需要代入到原矩阵了，直接将期望矩阵的特征值代入到期望矩阵，求得的就是A的特征向量，从而避免了参数运算。（任何一本线代辅导书都有此结论）

至此已经讲解完成了该类矩阵快速求特征值特征向量的方法，下面来看一道方法失效的问题。

尝试构造期望矩阵得

发现不可能通过修改主对角线元素，使其三行互相成比例。故方法失效，只能采用求解行列式的方法。

但考试形式是那样，为了考察施密特正交化，一般给的都是带二重特征值的实对称矩阵，验证方法成立的过程写到草稿纸上，答题纸上只写A=B+kE ，结合一些求特征向量和避免正交化的技巧，本来思路简单计算难的矩阵对角化问题，计算也将不是问题。

感谢关注和阅读，有任何问题都可以私信。