一张图读懂三次方程求根公式(彻底讲透公式的极简版)

一元三次方程的解法有代数解和数值解。古代数学家解决了求数值解的问题，他们没有得到的是三次方程的代数解(根式解)，即本文要重点介绍的求根公式。

三次方程和四次方程的求根公式是16世纪意大利数学家的杰出成就，载于卡丹的著作《大术》。书中的公式相当复杂，考虑到降低学习难度和使用门槛的需求，面向初学者推出下面的极简版求根公式，请看下图：

图一：极简优美版求根公式

对上图作一些简要说明。方程①是不完全三次方程，缺少了二次项。一元三次方程有三个根，对形如方程①的三次方程，三个根如图所示。第一个根是实数，第二个根和第三个根可能是实数，也可能是复数。二次方程和三次方程的复数根总是成对出现，且是共轭复数。二次方程和三次方程的实数根分为两类，即有理根和无理根。无理根总是成对出现，且是共轭根式。

举个例子，某个二次方程已知一个根是2+√3，那么另外一个根必然是2-√3；如果有一个虚根-2-√3i，那么另外一个虚根必然是-2+√3i。

图中的α和β是方程②的两根，可能是复数，也可能是实数。方程②的变量用字母t表示，是为了避免与方程①的变量x混淆。

方程②是根据方程①构造出来的二次方程，初中同学能够求解。

先解方程②，再把两根α和β代入求根公式，即得方程①的三个根了。求根公式出现了两个复数，它们是方程③的两个虚根。方程③可以用立方差公式进行因式分解，把三次方程降次为二次方程，就容易求解了。

1的立方根有三个，数学家把其中两个虚根称为ω和ω²，根据一元三次方程根与系数的关系，这两个虚根相加等于-1，相乘等于1。

求根公式怎么用呢？我们来看一道著名的例题，16世纪意大利数学家处理过的一个三次方程。

【例题】解方程x³-15x-4=0

审题：方程的形式和图1的方程①一样，可以用公式求解。p=-15，q=-4，于是构造形如方程②的二次方程。-15的三次方等于-3375，而-3375÷27=-125，所以得到二次方程t²-4t+125=0，解方程得到两个虚根为2+11i和2-11i。

接下来我们求第一个根。2+11i的立方根怎么求呢？想到完全立方公式：(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

于是有

2+11i=8+12i-6-i=8+12i+6i²+i³=(2+i)³

同理可得

2-11i=8-12i-6+i=8-12i+6i²-i³=(2-i)³

于是得到第一个根是

接下来我们求另外两个根。请看下图：

因为这两个无理根是共轭根式，所以得到第二个根后，可以直接写出第三个根。

有的同学可能会有疑问，虽然会解类似于方程①的不完全三次方程，但是遇到一般化的三次方程怎么办呢？

对于这样的三次方程，我们首先把它的三次项系数化为1，可以既简化问题，同时又不失一般性。然后用换元法解方程。

举个例子。我在美国著名科普作家阿西莫夫70年代的科普文章中看到一个三次方程：

y³-6y²+11y-6=0

虽然可以用因式分解法解方程，但是我们用换元法求解方程，解答某些同学的疑问。

请看下图：

上图所示的方程(1)是三次方程的一般形式，通过换元法，先确定两个变量x和y的关系，再代入方程(1)，整理化简后可得方程(2)。这样就把一个困难的，陌生的问题转化为一个熟悉的问题，方程(2)是缺少二次项的不完全三次方程，我们已经知道怎么解这种类型的方程了。

方程(3)是方程(1)的一个举例，用换元法转化为方程(4)，发现可以用因式分解法解方程，于是得到方程(4)的三个根。

根据x和y的已知简单关系，代入x就得到y，就得到方程(3)的三个根了。

换元法背后的原理是关系映射反演方法，又称为RMI原理。上图所示的方程(3)，未知元素y与已知元素存在原象关系，但是据此求解y有困难。于是我们确定y与x存在简单的关系，即y=x+2，把方程(3)的原象关系映射为方程(4)的映象关系。因为方程(4)有求根公式，所以顺利得到方程的三个根，再利用y=x+2反演得到方程(3)的三个根。

换元法的灵感来自解二次方程的经验，详情请看下面的链接。

https://m.toutiao.com/is/iexMXn49/ - 重走前人路：换元法再发现二次方程求根公式 - 今日头条

最后补充一些图片说明相关问题。下图直观展示了(2+i)的平方和立方。

AO是2+i，BO是3+4i，CO是2+11i。熟悉复数的同学知道，根据棣莫弗定理，这三个复数的辐角分别是θ和2θ和3θ。

下图所示是吴军介绍的求根公式，相当复杂。

下图所示是令人望而生畏的求根公式。

有了一个解，可以把方程降为二次方程，就好解决了。原方程可以变换为：

(x-x₁)·fx=0

可以用待定系数法，或因式定理，或多项式除法求出fx，剩下的工作就是解二次方程了。

看到上图，老师叹息，学生畏惧。所以老师不教，学生不学。

下图所示是吴军推荐的数学软件。

我使用的是手机端APP，名字是wolframalpha，可以解决数学，物理，生物等等各种类型的问题。

点击按钮可以展示详细的解题步骤，供学生学习。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。