自然数数字幂和的周期性

摘要：本文探讨的问题源自数学小游戏“一个数的数字平方和”：即计算任意十进制自然数的各位数字的平方和，并对结果反复计算，形成的序列都会出现循环。通过分析序列单调性及运用抽屉原理，本文证明了序列出现循环节的必然性，并将平方和推广到任意次幂和。本文还探讨了此类周期性现象的本质原因。

关键词：数字幂和 周期性 自然数变换 抽屉原则

文献1有介绍数学游戏“一个数的数字平方和”：我们从任何一个正整数开始，比如9246，求出他的各位数字的平方和（81+4+16+36=137）。再对这个数做同样的事情（137给出1+9+49=59），并且对每次所得结果重复这一步骤，这样便得到一个整数序列。对于我们的例子，这个序列是9246，137，59，106，37，58，89，145，42，20，…

那么，不论开始是人们选取什么整数，所得到的序列，要么出现数1（而在1之后显然就永远重复这个数字），要么出现数4（而在4之后就一直循环地出现4，16，37，58，89，145，42，20）。

对上述是问题稍作推广有一般的自然数数字幂和问题\(P_k\)。

\(P_k\):对\(m\)位十进制自然数\(N\)， \(N=\overline{a_{m-1}a_{m-2}...a_{1}a_{0}}=\sum_{0\leqslant i< m}{a_i\times 10^i}(a_i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\})\)

其\(k\)次数字幂和为 \(S_k(N)=\sum_{0\leqslant i