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欧拉公式及复数的指数式
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一、欧拉公式01. e^{\ \text{j}} 的定义 前面已经部分证明[参见]，在 x\in\mathbb{R} 范围内， \lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{x}{n})^n}=e^x . 模仿 e^x 的形式，定义 e^{\ \text{j}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{n}\ \text{j})^n} . 知 e^{\ \text{j}} 是复数 1+\frac{1}{n}\ \text{j} 的 n 次方的极限，仍然是复数，且可计算得到 (1) \left| e^{\ \text{j}} \right|=1 ，(2)\text{Arg}\ e^{\ \text{j}}=1 . 可结合下图理解后面的计算过程。  \begin{align} \left| e^{\ \text{j}} \right|&= \lim_{n \rightarrow \infty}{(\sqrt{1+(\frac{1}{n})^2})^n} \\&=\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{n^2})^\frac{n}{2}}\\ &=\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{n^2})^{n^2\frac{1}{2n}}}\\ &=\lim_{n \rightarrow \infty}{[(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}]}^\frac{1}{2n}\\ &=\lim_{n \rightarrow \infty}{e^\frac{1}{2n}}\\ &=1, \end{align}\text{Arg}\ e^{\ \text{j}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{n\arctan\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{n\frac{1}{n}}=1 .即 e^{\ \text{j}}=\cos1+\sin1\ \ \text{j} . 02. 欧拉公式同理可证 \left| e^{\ p\text{j}} \right|=1， \text{Arg}\ e^{\ p\,\mathrm{j}}=p ，其中 p\in\mathbb{R} 。 进而得 e^{\pi\text{j}}=\cos\pi+\sin\pi\ \ \text{j}=-1 ，从而得 e^{\pi\text{j}}+1=0 ，这就是著名的欧拉公式。 二、复数的指数表示法01. 复数的指数表示法由上，可进一步得 re^{\theta\text{j}}=r\cos\theta+r\sin\theta\ \text{j} . 即任一复数 \boldsymbol{z} 可表示为 \boldsymbol{z}=re^{\theta\text{j}} ，其中 r 为复数的模， \theta 为幅角。 02. e^{\boldsymbol{z}} 的含义用上面的定义同样可以推出， e^{\boldsymbol{z}}=e^ae^{b\text{j}} ，即 e^{\boldsymbol{z}} 是模为 e^{\text{Re}\ \boldsymbol{z}} 、幅角为 \text{Im}\ \boldsymbol{z} 的复数。 这样，若 b=0 ， e^{\boldsymbol{z}} 就能退回到实数指数函数。 计算过程如下： \begin{align} e^\boldsymbol{z}=&\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{a+b\text{j}}{n})^n\\\\ =&\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{a}{n}+\frac{b\text{j}}{n})^n\\\\ \end{align} \begin{align} |e^\boldsymbol{z}|=&\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{(1+\frac{a}{n})^2+(\frac{b}{n})^2}^{\,n}\\\\ =&\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\left((1+\frac{a}{n})^2+(\frac{b}{n})^2\right)^n}\\\\ =&\sqrt{\lim_{n\rightarrow\infty}\left((1+\frac{a}{n})^2+(\frac{b}{n})^2\right)^n}\\\\ =&\sqrt{\lim_{n\rightarrow\infty}\left[C_n^{\,0}(1+\frac{a}{n})^{2\times0}(\frac{b}{n})^{2\times n}+C_n^{\,1}(1+\frac{a}{n})^{2\times1}(\frac{b}{n})^{2\times (n-1)}+\cdots+C_n^{\,n}(1+\frac{a}{n})^{2\times n}(\frac{b}{n})^{2\times 0}\right]}\\\\ =&\sqrt{\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{b^{2n}}{n^{2n}}+n(1+\frac{a}{n})^2\frac{b^{2(n-1)}}{n^{2(n-1)}}+\cdots+(1+\frac{a}{n})^{2n}\right]}\\\\ =&\sqrt{\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{a}{n})^{2n}}\\\\ =&\sqrt{e^{2a}}=e^a,\\\\ \end{align} \text{Arg}\ e^{\boldsymbol{z}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{n\arctan\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}n\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}}=b 03. e^{\boldsymbol{z}_1}e^{\boldsymbol{z}_2}=e^{\boldsymbol{z}_1+\boldsymbol{z}_2}证明 \begin{align} e^{\boldsymbol{z}_1}e^{\boldsymbol{z}_2}=&e^{\text{Re}\boldsymbol{z}_1}e^{\text{Re}\boldsymbol{z}_2}e^{(\text{Im}\boldsymbol{z}_1+\text{Im}\boldsymbol{z}_2)\text{j}}\\\\ =&e^{a_1}e^{a_2}e^{(b_1+b_2)\text{j}}=e^{a_1+a_2}e^{(b_1+b_2)\text{j}}=e^{\boldsymbol{z}_1+\boldsymbol{z}_2}\\\\ \end{align} 推荐阅读 |
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