行列式、LGV、矩阵树学习笔记

2023-12-12 13:39| 来源: 网络整理| 查看: 265

前置知识：矩阵、高斯消元

行列式行列式定义 \[\text{det(A)}=\sum_{p}{(-1)^{\mathrm{sgn}(p)}\prod{A_{i,p_i}}} \]

其中 \(\text{sgn}(p)\) 表示排列 \(p\) 的逆序对个数。

行列式性质进行一次矩阵转职，行列式不变。(易证)行列式任意一行按比例扩大，行列式的值按同样比例扩大。(易证)行列式中交换任意两行，行列式反号。(易证)行列式中若有两行成比例，则行列式值为 \(0\)。(通过第二条证明)行列式中若有一行可以表示为两个数列相加，则行列式为两个行列式的值的和。(证明如下) \[\text{det}(A)=\sum_p(-1)^{\mathrm{sgn}(p)}\times(B_{k,p_k}+C_{k,p_k})\times \prod_{i=1}^{n~\text{and}~i\not=k}{a_{i,p_i}}=\mathrm{det}(B)+\mathrm{det}(C) \] 行列式求值

P7112 【模板】行列式求值

根据上面五条性质，可以将矩阵一步步消为左下角全是 \(0\) 的举证，类似于高斯消元。最后将矩阵的对角线乘起来即可。

n=rd(),mod=rd(); for(int i=1;i

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