H∞(H无穷)滤波器（H

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H∞(H无穷)滤波器（H-infinity filter）解析（下） - Mr.Bo的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/386726870

都知道，卡尔曼滤波是估计系统状态的有效工具。

卡尔曼滤波在20世纪60年代在航空航天领域的运用成功使得70年代将其应用于更普遍的工业领域。然而，人们发现，卡尔曼滤波的基本假设和工业状态估计问题之间并不是十分匹配。对于工业领域问题，精确的系统模型并不容易获得。美国政府在20世纪60年代在太空计划上花费了数百万美元来建立精确的系统模型，但工业领域很少把数百万美元花在工程问题上。此外，工程师们很少去研究影响工业过程的噪声过程的统计性质。

因此，在对卡尔曼滤波的性质和作用进行了大约十年的重新评估之后，工程师们意识到他们需要一种能够处理建模错误和噪声不确定性的新滤波器，能够容忍这种不确定性的状态估计称为鲁棒（robust）。尽管鲁棒估计器可以设计为基于卡尔曼滤波理论的估计器，但这样的方法在某种程度上是特别的，因为它们试图修改一个已经存在的方法，H∞滤波器就是专为鲁棒性而设计的。

本文将先推导了卡尔曼滤波的另一种形式，并讨论卡尔曼滤波器的局限性，之后推导H∞滤波器，从博弈论角度出发来推导离散H∞滤波器，当然还有连续H∞滤波器，最后讨论使用传递函数的方法来推导H∞滤波器。

1.卡尔曼滤波的另一种形式

首先推导卡尔曼滤波的另一种形式，便于之后将卡尔曼滤波和H∞滤波器进行比较：

卡尔曼滤波估计由方程定义的线性动态系统为：

\\x_{k+1}=F_kx_k+w_k \\y_k=H_kx+v_k \tag{1}

{\{w_k}\} 和 {\{v_k}\} 是具有协方差 Q_k,R_k 的随机过程,卡尔曼滤波的方程为：

\\ \begin{aligned} \hat{x}_{k+1}^{-} &=F_{k} \hat{x}_{k}^{-}+F_{k} K_{k}\left(y_{k}-H_{k} \hat{x}_{k}^{-}\right) \\ K_{k} &=P_{k}^{-} H_{k}^{T}\left(H_{k} P_{k}^{-} H_{k}^{T}+R_{k}\right)^{-1} \\ P_{k}^{-} &=F_{k-1} P_{k-1}^{+} F_{k-1}^{T}+Q_{k-1} \\ P_{k}^{+} &=\left(I-K_{k} H_{k}\right) P_{k}^{-} \end{aligned} \tag{2}

利用矩阵求逆引理，就有：

\\ \begin{array}{r} \left(H_{k} P_{k}^{-} H_{k}^{T}+R_{k}\right)^{-1}=R_{k}^{-1}-R_{k}^{-1} H_{k}\left(\mathcal{I}_{k}^{-}+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \\ =R_{k}^{-1}-R_{k}^{-1} H_{k}\left(I+P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1} P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \end{array} \tag{3}

\mathcal{I}_k 为信息矩阵(即协方差矩阵 P_k 的逆)。因此卡尔曼增益可以写成:

\\ \begin{aligned} K_{k} &=P_{k}^{-} H_{k}^{T}\left(H_{k} P_{k}^{-} H_{k}^{T}+R_{k}\right)^{-1} \\ &=P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1}-P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\left(I+P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1} P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \\ &=\left[I-P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\left(I+P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1}\right] P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \\ &=\left[\left(I+P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)-P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right]\left(I+P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1} P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \\ &=\left(I+P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1} P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \end{aligned} \tag{4}

代入卡尔曼滤波方程，解出 P_{k+1}^{-} :

\\ \begin{aligned} P_{k+1}^{-} &=F_{k} P_{k}^{+} F_{k}^{T}+Q_{k} \\ &=F_{k}\left(I-K_{k} H_{k}\right) P_{k}^{-} F_{k}^{T}+Q_{k} \\ &=F_{k} P_{k}^{-} F_{k}^{T}-F_{k} K_{k} H_{k} P_{k}^{-} F_{k}^{T}+Q_{k} \\ &=F_{k} P_{k}^{-} F_{k}^{T}-F_{k}\left(I+P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1} P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-} F_{k}^{T}+Q_{k} \\ &=F_{k} P_{k}^{-} F_{k}^{T}-F_{k}\left(\mathcal{I}_{k}^{-}+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-} F_{k}^{T}+Q_{k} \end{aligned} \tag{5}

再用一次矩阵求逆引理，就有：

\\ \begin{aligned} P_{k+1}^{-}=& F_{k} P_{k}^{-} F_{k}^{T}-\\ & F_{k}\left[P_{k}^{-}-P_{k}^{-} H_{k}^{T}\left(R_{k}+H_{k} P_{k}^{-} H_{k}^{T}\right)^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right] H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-} F_{k}^{T}+Q_{k} \\ =& F_{k} P_{k}^{-}\left[I-H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}+\right.\\ &\left.H_{k}^{T}\left(R_{k}+H_{k} P_{k}^{-} H_{k}^{T}\right)^{-1} H_{k} P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}\right] F_{k}^{T}+Q_{k} \\ =& F_{k} P_{k}^{-} T_{k} F_{k}^{T}+Q_{k} \end{aligned} \tag{6}

解出上式中的 T_k ，继续用矩阵求逆引理，有：

\\ \begin{aligned} T_{k}=& I-H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}+\\ & H_{k}^{T}\left[R_{k}^{-1}-R_{k}^{-1} H_{k}\left(\mathcal{I}_{k}^{-}+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1} H_{k}^{T} R_{k}^{-1}\right] H_{k} P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k} \\ =& I-H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}+\left(H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{2}-\\ & H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\left(\mathcal{I}_{k}^{-}+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1}\left(H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{2} \\ =& I-H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}+\left(H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{2}-\\ & H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{-1}\left(H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{2} \\ =& I-H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}+\left(H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{2}-\\ &\left(H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{3}\left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{-1} \\ =&\left[\left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)-H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)+\right.\\ &\left.\left(H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{2}\left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)-\left(H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{3}\right] \times \\ &\left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{-1} \\ =&\left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{-1} \end{aligned} \tag{7}

将T_k 代入（6）中，就可以得到：

\\ P_{k+1}^{-}=F_{k} P_{k}^{-} \left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{-1} F_{k}^{T}+Q_{k} \tag{8}

这样，（4）中的卡尔曼滤波增益可以写为：

\\ K_k=\left(I+P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}\right)^{-1} P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \tag{9}

做一下数学处理，在括号外左乘 P_{k}^{-} ，括号内每一项右乘 P_{k}^{-} ，就有：

\\ K_k=P_{k}^{-} \left(P_{k}^{-} +P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k}P_{k}^{-} \right)^{-1} P_{k}^{-} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \tag{10}

还可以在括号外右乘 P_{k}^{-} 的逆，括号内每一项左乘 P_{k}^{-} 的逆，就有：

\\ K_k=P_{k}^{-} \left(I + H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{-1} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \tag{11}

（11）得出的过程比较绕，可以尝试一下，蛮有趣的。

有了卡尔曼增益的表达配合式（2）和（8），那么卡尔曼滤波的表达式就为：

\\ \begin{aligned} \hat{x}_{k+1}^{-} &=F_{k} \hat{x}_{k}^{-}+F_{k} K_{k}\left(y_{k}-H_{k} \hat{x}_{k}^{-}\right) \\ K_{k} &=P_{k}^{-}\left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{-1} H_{k}^{T} R_{k}^{-1} \\ P_{k+1}^{-} &=F_{k} P_{k}^{-}\left(I+H_{k}^{T} R_{k}^{-1} H_{k} P_{k}^{-}\right)^{-1} F_{k}^{T}+Q_{k} \end{aligned} \tag{12}

2.卡尔曼滤波的局限性

接下来介绍卡尔曼滤波的局限性：

卡尔曼滤波只有在特定的条件下才能有很好的效果：

这样问题就来了，如果卡尔曼滤波的假设不满足，怎么办?如果没有任何有关噪声的统计信息，怎么办?如果想最小化估计误差而不是估计误差的协方差怎么办?

当然每种情况都可以选择去使用卡尔曼滤波，即使假设不满足，但是效果是好是坏也不知道，这样H∞滤波器，也称为极大极小滤波器（minimax filter）就是另一个选择，H∞滤波器不做任何关于噪声的假设，它将估计误差最小化(有极大极小项)。

3.拉格朗日乘子法介绍

在介绍H∞滤波器前，需要了解如何通过拉格朗日乘子执行约束优化（constrained optimization），这是解决H∞滤波所必需的基础知识。

3.1 静态约束优化

先从静态约束优化(即自变量为常数)开始