阵列信号处理及MATLAB实现（第2版）

阵列信号处理的发展最早可追溯到20世纪40年代的自适应天线组合技术，它使用锁相环进行天线跟踪。阵列信号处理的重要开端是Howells于1965年提出的自适应陷波的旁瓣对消器[5]。1976年，Applebaum提出了使信号干扰噪声比（Signal to Interference Plus Noise Ratio，SINR）最大化的反馈控制算法[6]。另一个显著的进展是Widrow于1967年提出的最小均方（Least Mean Square，LMS）自适应算法[7]。其他几个里程碑式的工作是Capon于1969年提出的恒定增益指向最小方差波束形成器[8]，Schmidt于1979年提出的多重信号分类（Multiple Signal Classification，MUSIC）方法[9]，Roy等人1986年发展的旋转不变性的信号参数估计技术（Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）[10]，Gabriel[11]则是对自适应波束形成提出“智能阵列”（Smart Array）术语的第一人。1978年，军用通信系统中开始使用自适应天线[12]，在民用蜂窝式通信中使用天线阵列则是在1990年开始的[13]。

波束形成（Beamforming，BF）亦称空域滤波，是阵列处理的一个主要方面，并逐步成为阵列信号处理的标志之一。波束形成的实质是通过对各阵元加权进行空域滤波，来达到增强期望信号、抑制干扰的目的；而且可以根据信号环境的变化自适应地改变各阵元的加权因子。自提出自适应天线这个术语以来，自适应天线发展已历经50多年了。自适应研究的重点一直是自适应波束形成算法，而且经过前人的努力，已经总结出许多好的算法。自适应阵列的优良性能是通过自适应算法来实现的，有多种准则来确定自适应权。它们包括：①最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）准则；②最大SINR准则；③最大似然比（Maximum-Likelihood，ML）准则；④最小噪声方差准则。在理想情况下，这四种准则得到的权是等价的。因此，在自适应算法中选用哪种性能度量并不重要，而选择什么样的算法来调整波束方向图进行自适应控制才是非常重要的。自适应算法分为闭环算法和开环算法，在早期学者们主要注重闭环算法的研究，常用的闭环算法有LMS算法、差分最陡下降算法、加速梯度算法，以及它们的改进算法。

广义旁瓣相消器（Generalized Sidelobe Canceller，GSC）是线性约束最小方差准则（Linearly Constraint Minimum Variance，LCMV）的一种等效的实现结构，GSC结构将自适应波束形成的约束优化问题转换为无约束的优化问题，分为自适应和非自适应两个支路，分别称为辅助支路和主支路，要求期望信号只能从非自适应的主支路通过，而自适应的辅助支路中仅含有干扰和噪声分量，其自适应过程可以克服传统方法中期望信号含于协方差矩阵引起的信号对消问题。但是正如文献[14]中所指出的，由于阵列天线误差的存在，GSC的阻塞矩阵并不能很好地将期望信号阻塞掉，而是使一部分能量泄漏到辅助支路中。当信噪比较高的时候，辅助支路中含有与噪声相当的期望信号能量，会出现严重的上下支路期望信号抵消的现象，文献[14]将泄漏的期望信号功率作为惩罚函数，提出了人工注入噪声的方法，使GSC具有稳健性，其中，人工注入的噪声必须具有合适的功率。文献[15]中的研究表明，当自适应权向量的范数小于一定值时，同样可以提高GSC的稳健性。文献[16]提出了信号子空间投影的GSC改进算法，来提高GSC的稳健性，但会在低信噪比下发生波束形成畸变。本书将提出一种改进的GSC波束形成方法，即基于特征结构的GSC算法，该算法不仅克服了传统GSC算法在高信噪比下波束形成效果变差的缺点，而且克服了文献[16]中提出的改进GSC算法在低信噪比下性能差的缺点。

常用的LCMV算法也是一种采样矩阵求逆（Sample Matrix Inversion，SMI）算法。然而，在SMI实际运用中，各种误差的影响会导致副瓣电平升高，主瓣偏移，波束畸变，输出SINR下降。文献[17]中提出了对角线加载的波束形成方法来抑制方向图畸变。文献[18]中分析了加载量对自适应阵列干扰噪声比的影响。对角线加载技术减弱了小特征值对应的噪声波束的影响，改善了方向图畸变，但是加载量的确定一直以来是一个比较困难的问题。文献[19]中提出了一种自适应的对角线加载的波束形成方法。

为了克服LCMV算法对指向误差的敏感性，诸多研究提出了基于特征空间（Eigen Space Based，ESB）的波束形成算法[20-23]，其权向量是由LCMV波束形成器的最优权向量向信号相关矩阵特征空间投影得到的。该算法与LCMV算法相比有较好的性能，具有较快的收敛速度和较强的稳健性。虽然ESB算法不像LCMV算法那样对指向误差敏感，但当指向误差较大时，ESB算法的性能也会急剧下降，尤其是当阵列孔径较大时，很小的指向误差也会使特征空间波束形成算法性能下降。文献[24]中提出了一种改进自适应波束形成算法，在指向误差较大时，该算法仍有较好的性能。该算法主要利用阵列接收数据来校正ESB算法的约束导向向量，使该导向向量尽可能地接近期望信号的导向向量，从而提高波束形成器的性能。ESB自适应波束形成算法的前提是必须知道信号源的数目[23]。另外，ESB算法一般处理的都是信号不相干的情况，当信号相干时，ESB算法和空间平滑或Toeplitz化等相关技术结合起来，同样可以达到好的效果。此外，在这些基本算法的基础上，文献[25]中提出了一种基于广义特征空间的波束形成器。文献[26]中提出了正交投影方法。文献[27，28]中提出了一种基于酉变换的谱估计方法，已成功应用于波达方向估计。文献[29]中提出了利用投影算子对阵列数据进行降维处理，在一定程度上降低了运算量，同时提高了自适应波束的稳健性，其投影算子是根据目标和干扰的粗略估计，以及不完全的阵列知识得到的。当相关矩阵中含有期望信号时，会导致输出SINR下降，波形畸变较严重。另外，当存在系统误差和背景噪声为有色噪声时，该方法虽然能够减小协方差中的扰动量，但副瓣电平还会出现一定程度的升高及主瓣发生偏离现象。文献[30，31]中提出的基于特征空间的自适应波束形成算法，其权向量是在线性约束最小方差准则下的最优化权向信号相关矩阵的特征空间投影得到的。文献[32]中提出了一种改进的自适应波束形成算法，该算法根据期望信号输入的大小，进行不同的处理，同时在存在相关或者相干干扰时仍具有较好的抑制性能和波束保形能力，从而大大提高了波束形成的稳健性。文献[33，34]中利用投影算子改善了波束形成的稳健性，但投影方法在相干信源情况下性能下降，而且投影算子需要知道期望信号和干扰信号的方向向量，这在实际系统中很难满足。斜投影算子是投影算子的扩展，文献[35]中研究了基于斜投影的波束形成算法，对接收信号进行斜投影可有效消除干扰，进而提高波束形成的稳健性。

LMS自适应波束形成算法是一种较简单、实用的自适应波束形成算法。LMS的优点是结构简单、算法复杂度低、易于实现、稳定性高；缺点主要是收敛速度较慢，因而其应用也受到一定的限制。分析表明，影响LMS自适应波束形成器收敛速度的主要因素是输入信号的最大、最小特征值之比，该值越小收敛就越快[36]。为了提高收敛速度和性能，研究变换域的自适应滤波方法成为热点。文献[37-39]中研究了频域的波束形成技术；文献[40]中研究了基于余弦变换的波束形成技术；张小飞等人改进了频域自适应波束形成算法[92]，并提出了小波域的自适应波束形成算法[41-44]。

目前，人们普遍关注在阵列响应向量未知的情况下自适应波束的形成问题，即稳健自适应波束形成技术[3,45-47]。造成阵列响应向量未知的原因是期望信号源的波束方向未知，或天线阵列特性不确定，或不恰当的模型及在信号源与天线阵列之间传播媒介的变化。为了提高对未知阵列响应向量的稳健性，一些学者提出了许多方法，如对角线加载波束形成[45]、基于测向技术的波束形成[46]和基于贝叶斯方法的稳健自适应波束形成[47]等，这些方法在一定程度上都能够提高算法的稳健性。

近来人们提出了许多盲波束形成算法，它们的共同特点在于不需要阵列校验、波达方向、训练序列、干扰和噪声的空间自相关矩阵等先验知识。目前，盲波束形成主要有三类：基于常模量（Constant Module，CM）的算法、基于高阶累积量的方法，以及基于周期平稳的算法。基于常模量的算法利用信号的常模量特性提取有用信号，但是它采用的代价函数不能保证算法收敛到全局最小点。基于高阶累积量的方法利用了信号的高阶统计特性，能够去除任何高斯噪声；但是，它对于非高斯干扰信号的处理却比较困难；同时，该方法的收敛速度过慢，运算复杂。基于周期平稳的算法有许多优点，因为绝大多数通信信号是周期平稳的，并且很容易找出它们之间不同的周期平稳频率，因此，基于周期平稳信号特性的盲自适应波束形成算法是当前国际上阵列信号处理领域研究的热点，其新算法层出不穷[48]。

阵列天线自适应波束形成技术理论上具有十分优良的性能，但在实际应用中却不尽如人意，究其原因，是阵列天线不可避免地存在各种误差（如阵元响应误差、通道频率响应误差、阵元位置扰动误差、互耦等），各种误差可以综合用阵元幅相误差来表示。近年来，许多文章从不同侧面分析了阵列误差对自适应阵列性能的影响。文献[49]中对各种误差的影响进行了综合分析。

阵列信号处理的另一个基本问题是空间信号到达方向（Direction of Arrival，DOA）的问题，这也是雷达、声纳等许多领域的重要任务之一。DOA估计的基本问题是确定同时处在空间某一区域内多个感兴趣的信号的空间位置（各个信号到达阵列参考阵元的方向角，简称波达方向）。波束形成实质上也是一个波达方向估计问题，只不过它们都是非参数化的波达方向估计器。这些估计的分辨率取决于阵列长度。阵列长度确定后，其分辨率也就确定了，称为瑞利限。超瑞利限的方法称为超分辨方法。最早的超分辨DOA估计方法是著名的MUSIC方法（以及改进算法[50-54]）和ESPRIT方法，它们同属特征结构的子空间方法。子空间方法建立在这样一个基本观察之上：若传感器个数比信源个数多，则阵列数据的信号分量一定位于一个低秩的子空间；在一定条件下，这个子空间将唯一确定信号的波达方向，并且可以使用数值稳定的奇异值分解精确地确定波达方向。

由于把线性空间的概念引入DOA估计，子空间方法实现了波达方向估计分辨率的突破。近年来，科研人员从各个方面发展和完善了子空间估计方法。一些学者提出加权子空间拟合方法[55-59]，该方法根据一些准则，构造子空间的加权阵，然后重新拟合子空间，以达到某种性能指标的最优。但是，加权子空间拟合方法在构造加权阵时，需要参数寻优，因此，计算复杂，通用性差。殷勤业等人提出了波达方向矩阵法[60]，此方法根据阵列输出的协方差矩阵的性质，构造了波达方向矩阵，然后对波达方向矩阵进行特性分解，可以直接获得空间谱的全部信息，从而完全避免了多项式搜索，减小了计算量。另外，此方法属于二维参数估计方法，可以同时估计信号的二维方向角。波束方向矩阵法由于计算量小，参数能够自动匹配等特点，引起了人们的重视，如文献[61，62]中利用波达方向矩阵法，实现信号频率和波达方向的同时估计。但是，波达方向矩阵法也存在一些缺点，如不允许任意两个信号源有相同的二维方向角，否则算法将出现病态，称为“角度兼并”问题。因此，金梁等人提出了时空波达方向矩阵法[63,64]，该方法在保持原波达方向矩阵法不需要二维谱峰搜索和参数自动配对等优点的基础上，利用阵元输出之间的互相关关系将空域的阵列观测数据变换到时空域，解决了“角度兼并”问题，并适用于阵元排列不规则的阵列。

由于高阶累积量对高斯噪声不敏感，一些学者利用阵列输出的高阶累积量（通常是四阶累积量）代替二阶累积量进行空间谱估计[65,66]。利用高阶累积量估计空间谱的好处是合成阵列的阵元数较实际阵元数多，即阵列扩展特性。但是，高阶累积量对非高斯噪声无能为力，并且计算量较大。

大部分人造信号具有循环平稳特性，具有相同循环频率的信号有可能循环互相关，不同循环频率的信号循环互相关为零。Gardner等人首先用循环互相关矩阵代替互相关矩阵，通过信号子空间拟合进行波达方向估计[67]，此方法的主要优点是抑制干扰信号和噪声的能力强，具有信号选择能力，并可增加阵列容量。目前，在雷达系统中，随着反隐身及对目标的高分辨率的要求不断提高，窄带信号的假设已经不符合实际情况。谱相关空间拟合方法[68]较好地解决了宽带问题。SC-SSF方法通过对阵列各阵元输出信号进行循环自相关运算，得到一个基于循环自相关的信号模型，然后利用MUSIC算法实现对信号源的波达方向估计。文献[69]在此基础上将该方法扩展到相干信号源的波达方向估计。文献[70]中将循环谱进行加权处理，得到了基于加权循环谱的波达方向估计方法。文献[71]中提出了基于循环互相关的波达方向估计方法，这些方法都是对谱相关空间拟合的改进。金梁等人经过进一步研究，提出了广义谱相关子空间拟合波达方向估计方法[72]，此方法将主要的循环平稳DOA估计方法统一起来，并揭示了它们之间的内在联系。循环平稳DOA估计方面新的研究成果仍在不断出现[73,74]。

随着阵列信号处理理论研究的不断深入，非平稳信号的波达方向估计成了阵列信号处理领域研究的另一重点内容。在实际应用中，许多典型信号是非平稳的或谱时变的，而传统的子空间波达方向估计方法针对的是平稳信号。因此，利用传统子空间方法对非平稳信号进行DOA估计，显然存在先天性的不足。在许多场合中，信号的一些先验知识是可以利用的。那么，如何利用信号的一些先验知识，在空、时、频三维子空间内对信号进行处理是国内外阵列信号处理领域研究的热点问题[75-80]。将一维时域信号映射到二维时频域中，因此能够在空、时、频三维空间中更精细、准确地刻画和反映非平稳信号的特征和细节。利用时变滤波等方法，将一些在低维空间中难以区分的，但具有不同时频特征的信号加以分离，同时有效地抑制干扰，使得DOA估计方法具有信号选择性，以及更好的分辨率和更强的抗干扰和噪声的能力。此方法适用于平稳信号和非平稳信号的DOA估计。

在阵列成像、声源定位、海下回波探测、对流层/电离层无线电传播、低仰角雷达目标跟踪、移动通信等领域，目标信号源具有分布特性。假如在移动通信中，由于移动信号源周围的局部散射，使得同一个信号源发出的信号可以通过不同的途径和角度到达天线接收阵列。这时，信号源已不是点信号源，它通常被认为是具有分布特性的角度扩展信号。基于点信号源假设的高分辨DOA估计方法，由于未能考虑信号源的空间分布信息，当点信号源假设不再成立时，其DOA估计性能急剧下降。因此，扩展信号源的波达方向估计也是国内外阵列信号处理领域的研究热点[81,82]。文献[83-85]基于局部角度扩展源的协方差矩阵模型，提出了最大似然估计方法及其简化方法。也有研究基于子空间思想，提出了适用于局部扩展源的伪子空间加权算法[86]和单次快拍的局部扩展源参数估计算法[87]。对多个扩展源的情况，一些学者也提出了一些方法，如基于ESPRIT的方法[88]和基于协方差匹配的方法[89]。

在空间信源的定位技术研究中，根据空间中信源与接收阵列的距离又分为远场信源定位和近场信源定位。远场信源，即信源位于阵列的远场（Fraunhofer）区域，r≫2D2/λ，其中，r为信源到阵列参考阵元之间的距离，D为阵列孔径，λ为信源的信号波长。从电磁波的传播理论可知，信源的波前曲率可忽略不计，信源信号在空间中传播时可以看成平行波，因此，远场信源的定位即信源的波达方向（Direction of Arrival，DOA）估计。对于近场信源而言，当信源与接收阵列的距离满足0.62(D3/λ)1/2≤r≤2D2/λ时，信源位于阵列孔径的菲涅尔（Fresnel）区域，信源信号到达阵列的波呈现球面式波形，不能再近似为平面波，将其称为近场信源。此时，当信源处于阵列的Fresnel区域，即近场区域时，空间信源的定位问题不仅与信源的DOA有关，还与信源与阵列之间的距离（Range）有关。由于近场信源模型既包括信源的波达方向信息又包括距离信息，因此能够更加准确地描述信源在空间中的具体位置。1988年，Swindlehurst A. L. 等人首先提出了基于最大似然（Maximum Likelihood，ML）的近场源参数估计方法[125]，该方法具有优异的统计特性，参数估计精度高，但该方法需要对一个高度非线性的代价函数做高维度搜索，因此计算量十分巨大。Huang等人证明了信号子空间和噪声子空间的正交特性在近场信号源定位问题中依然成立[126]，并且将远场的MUSIC算法推广至近场，提出了近场信源参数估计中经典的二维MUSIC（2D-MUSIC）算法。该算法需要在角度和距离两个维度中对全局空域空间谱进行搜索，从而得到近场信源的角度和距离参数的估计，参数估计精度高，但由于需要对二维全局空域进行搜索，因此计算量十分巨大。近年来，很多近场信源参数估计的算法被提出，如Root-MUISC算法[127]、路径跟踪法[128]、加权线性预测法[129]。Lee等人提出了改进型路径跟踪算法[130]，它对路径跟踪法进行了进一步优化，利用己知的代数路径来替代路径搜索，进一步降低了计算量。基于二阶统计量的算法[131]被提出，此类方法计算复杂度低，但通常需要多次矩阵分解操作，因此一般要进行参数配对处理。

在阵列信号多维参数估计中，通常研究的多维参数估计包括：二维DOA估计、DOA与频率联合估计、DOA与时延联合估计、DOA与极化联合估计等。国内外许多学者做了大量的工作，取得了可喜的成绩，在国内外产生了较大的影响。

1. 二维DOA估计

二维DOA估计一般采用L型阵列、交叉十字阵列和面阵等实现二维参数的估计。二维DOA估计方法包括最大似然法[90]、二维MUSIC算法[91,92]、二维ESPRIT算法[93]、传播算子方法[94,95]、高阶累积量方法[96]和波达方向矩阵法[60]等。

M. P. Clark和L. Scharf于1991年提出了二维最大似然法[90]，依据最大似然准则对阵列的输出数据进行时空二维处理，获取二维参数的估计。M. Wax[91]提出了二维MUSIC算法，Hua等人也给出了基于L型阵列的二维MUSIC算法[92]。二维MUSIC算法是二维DOA估计的典型算法，该方法可以产生渐近无偏估计，但要在二维参数空间搜索谱峰，计算量相当大，限制了其在实际中的应用。Zoltowski[93]提出的二维Unitary ESPRIT和二维Beamspace ESPRIT方法将复矩阵运算转化为实矩阵运算，简化了运算复杂度。文献[94]将传播算子方法和ESPRIT算法结合，给出了一种快速的空间二维参数估计方法，该算法无须搜索，直接给出闭式解。文献[95]提出基于传播算子的低复杂度的二维角度估计算法，该算法无须分解特征值，具有线性复杂度。文献[96]中提出了一种利用高阶累积量来实现方位角和仰角的估计，该方法适用于一般的阵列几何结构，复杂度高。殷勤业[60]提出了一种波达方向矩阵法，该方法通过对波达方向矩阵的特征分解，直接得到信号源的方位角与仰角，无须搜索任何谱峰，运算量低，参数自动配对。但波达方向矩阵法的缺点是需要通过双平行线阵等特殊的、规则的阵列才能实现二维DOA估计，并存在“角度兼并”问题。在波达方向矩阵法的基础上，金梁提出了时空DOA矩阵法[63,64]，该方法在保持原波达方向矩阵方法优点的前提下，不需要双平行线阵，克服了“角度兼并”等问题。

2. DOA与频率联合估计

角度与频率联合估计方法包括线性预测方法[97]、多维MUSIC方法[91]、最大似然法和ESPRIT算法[98,99]等。在这些方法中，线性预测方法的估计性能略差，最大似然法和多维MUSIC算法则具有较好的估计性能。然而，最大似然方法需要进行多维非线性最优化搜索，多维MUSIC算法也需要进行多维的穷尽搜索，二者计算量都很大。ESPRIT算法由于无须搜索谱峰，且参数估计性能也相当优越，其应用研究更为丰富。

Zoltowski[98]在雷达信号处理领域讨论了二维波达方向与频率联合估计的问题。Elaardt等人在文献[99]中讨论了移动通信领域中二维波达方向与频率的联合估计，用于解决空分多址技术面临的问题。Elaardt的算法基于Unitary ESPRIT算法的设计，通过Cayley变换将复数矩阵转换为实矩阵进行处理以减小计算量，但同时会导致参数估计精度下降。为了提高DOA与频率参数估计的精度与稳健性，Strobach在文献[100]中给出了基于总体最小平方与相位平均的三维ESPRIT算法。Lemma[101]提出基于多维ESPRIT算法的方位角-频率联合估计算法。在国内研究方面，葛利嘉[102]等人针对窄带信号，利用旋转不变技术实现了方位角-频率的联合估计。廖桂生等人在文献[103]中利用频率作为旋转因子，在阵列流形未知的条件下进行了方位角-频率的盲估计。另外，波达方向矩阵法[60]也被应用于入射信号波达方向与频率的联合估计中。

3. DOA与时延联合估计

DOA与时延的联合估计方法包括最大似然法[104]、多维MUSIC算法[105,106]和ESPRIT算法[107]等。

Wax和Leshem在文献[104]中利用迭代方法进行最大似然最优化搜索，从而同时获取多个入射信号的波达方向、时延与信号强度的联合估计。Ogawa等人在文献[105]中提出了一种加窗的二维MUSIC算法，实现了对室内环境多径信号的分析。在文献[106]中，Wang等人将时域滤波、空域滤波、时域和空域MUSIC算法相结合，提出了一种方位角-时延联合估计的TST-MUSIC算法。在移动通信多径信号波达方向与相对时延联合估计的问题上，文献[107]给出了一类有效的联合角度与延迟估计方法，此类算法均基于已知脉冲波形函数的傅里叶变换与解卷积操作，通过将信号时延映射至频率域，应用ESPRIT算法完成对方位角与时延的联合估计。

4. DOA与极化联合估计

角度和极化联合估计目前经常使用的方法主要有子空间方法和高阶累积量。用于DOA与极化联合估计的子空间方法主要是ESPRIT算法和MUSIC算法。

Jian Li将ESPRIT算法推广到极化-角度域，解决不同情形下极化敏感阵列的多参数估计问题[108-111]。文献[111]中研究了由同心正交的三个电偶极子和三个电流环构成的电磁向量传感器，在ESPRIT算法中利用了电偶极子和电流环输出之间的相对不变性。与此同时，K. T. Wong [112]针对电磁向量传感器阵列，提出将单个电磁向量传感器看成一个无角度模糊子阵，利用空域ESPRIT算法实现稀疏向量传感器阵列窄带信号源二维角度和极化参数估计。文献[113]中利用MUSIC算法估计信号波达方向和极化状态角，并提出空间-极化波束空间的概念。文献[114]中利用类ESPRIT算法研究了向量传感器任意分布且空间位置未知情形下信号空间波达方向和极化状态角的估计问题，并提出了闭式解，但其性能较差。在文献[115]中，Gonen和Mendel基于四阶累积量提出了一种用最小约束实现波达方向和极化参数的联合估计算法。该算法仅要求阵列中有3三个短偶极子阵元放置在固定位置，阵列中的其他阵元可具有任意未知的响应和几何结构，但只考虑了一维波达方向的情况。徐友根等人探讨了基于四阶累积量的二维波达方向和极化的联合估计问题[116]，还研究了相干信号源波达方向和极化参数的联合估计[117]。

5. 其他多维参数估计——频率、DOA和极化联合估计研究

文献[118-120]中研究了基于ESPRIT算法的频率、二维波达方向和极化参数的联合估计。文献[121，122]中则研究了基于四阶累积量的频率、二维波达方向和极化的联合估计算法。文献[123]中研究了波达方向、频率与时延的联合估计，通过空间域累积构造的信号协方差矩阵使得提出的扩展ESPRIT算法可以在单次回波内通过特征值与特征向量同时获得对目标波达方向、频率与时延的联合估计等。MIMO雷达目标定位见文献[124]。