FGO概率分析（二)

在前文，我们已经讲到了二项分布和超几何分布在fgo中的应用问题(CV6531319)，这次我们则将引入数学期望，方差等概念来解决更多fgo中的概率问题

首先先给不知道的同学讲一下期望和方差的概念

期望用E（X）表示，它亦被称为均值，它描述的是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它的公式为

它反映随机变量平均取值的大小。概念和公式有点看不懂？没关系，我列个分布列就清楚了

比如我设我抽十连中抽到SSR的数量为X，SSR抽到的概率就算0.01，也就是歪的也算，则X是个随机变量，X可以等于0，1，2，3...10，知道其概率就可以列出它的分布列，比如十连的分布列如下表

因为后面4-10个ssr的概率实在太小了，我就这样这样表示了，二项分布有一个期望方差公式，证明有点复杂我就直接拿来用了

前面的是期望公式，后面那个则是方差公式，方差现在先不讲，现讲期望。其实这个期望公式就是把概率和试验的次数乘起来，我们可以算出十连五星的期望E(X)=0.1，100抽的期望也就是1了，也就是说差不多100抽一个五星算是正常的。从上面些个公式，还可以算出100抽抽到1个或以上ssr的概率，这个概率大概是63.3%，还算是比较高的了，只不过抽到1个的概率大概是36%，而抽到1-2个的概率就占了高达54%，这两个才是占大头的， 抽到3个以上就特别难了。此外一个五星都抽不到的概率很好算，直接0.99^100≈36%，或者用1直接减去前面那个至少抽到1个ssr的概率。

说完了期望，我们来聊聊方差。很多人现在是千石一宝怨声载道，我们这里要用0.007的概率来算，毕竟歪的那些都不能算。我从丸子那里统计了一些数据，分别是现在的伯爵弓贞池子出货率：1.03% (0.36%歪+0.68%UP)，狂信池子【五星从者】出货率：1.04% (0.32%歪+0.72%UP)，芭娜娜【五星从者】出货率：1.07% (0.29%歪+0.78%UP)（最高的一个），这三个都是通过大量抽卡得来的数据，可以作为一个不错的样本数据。看来官方概率还没有被所谓调低的样子，可能和一前盐川相比确实要低一点吧。这三者的均值很容易算出来，我们只算UP的，均值大约为0.726，还是要高于官方给出的数据，不过方差较大，不是很稳定。

这是初中就学过的较为简易方差，用来衡定数据的稳定性。高中学的则一般是二项分布的方差

根据上面提供的公式D(X)=np（1-p），可以算出100抽的方差D(X)=0.21，方差是相当小的，因为样本数据大都集中在0-3个ssr

理应如此，然而0宝的人依然很多，甚至千石一宝，千石零宝这种概率是非常小的，0.993^333≈0.096，连10%都不到的概率，也就是比你暴击星只有一个时暴击的概率还要小。这时的方差计算出来大约是2.31，分布就不是很稳定了。还也可以计算出，一千石头333抽时，均值已经是2.331，抽到2个的概率理应是最大的，千石来抽卡确实很坑了，欧的欧死，非的非死。但总体还是1000抽抽到ssr的概率要大得多。如果是以所有ssr来算，这个概率将会更高，1000石头差不多能抽个3-4个ssr吧

说到暴击，就想提一下暴击的概率问题。暴击问题本身可以归纳为一个独立事件概率问题，比如如下三张卡

不算宝具卡的话，从5张牌里选3张牌一共有C5 3种选法，也就是10种选法。如果选的是40%，60%,70%的卡，全部暴击就全部乘起来。任意两个暴击，则要用独立事件概率解决，有三种可能，用乘法和加法就行了，40%*60%*（1-70%）+40%*(1-60%)*70%+(1-40%)*60%*70%=43.6%，只有一个暴击的话和上面那种独立事件概率算法一样，只不过有两个会设置为不暴击的概率，我就不演示了，没有暴击直接算1-全部暴击的概率即可。

好了，我们现在运用了比较丰富的概率论来解决fgo中的概率问题，这里我就可以提出个综合性的问题了：我用600个石头抽伯爵，至少抽到一个伯爵后来到副本，在第一回合至少出现一张伯爵绿卡的概率是多少？第一回合进行大英雄爆破后洗牌，第二回合来到第二面，再次获得至少一张伯爵绿卡的概率是多少？假设这次抽到X张绿卡（X为随机变量），并且分星星分到了6颗，也就是60%的暴击概率，至少一张伯爵绿卡暴击的概率是多少呢？

此问题需要用到超几何分布，二项分布，独立事件概率等工具才可以进行解题，超几何分布是用来算指令牌的发放的，这个在上一篇专栏里有详细讲过，我就不在赘述了。