因数定理まとめ（公式・証明・問題）

東大塾長の山田です。 このページでは、「因数定理」について解説します。

今回は「因数定理」の公式や使い方に加え、「因数の見つけ方」、「割り算の簡便法（組み立て除法）」についても超わかりやすく解説しています。 ぜひ最後まで読んで、勉強の参考にしてください！

それではさっそく因数定理について解説していきます。

整式 \( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ \( \Leftrightarrow \ P(\alpha) = 0 \)

因数定理は、必要十分条件になっていることがポイントです。

どちらも成り立ちます。

ひとつ具体例を挙げて、調べてみましょう。

【例】

\( P(x) = x^2 + x – 2 \) のとき

\( x^2 + x – 2 = (x-1)(x+2) \) より、\( P(x) \) は \( (x-1) \) を因数にもつ。

\( \alpha = 1 \) として

\( \color{red}{ P(\alpha) } = P(1) = 1^2 + 1 – 2 \color{red}{ = 0 } \)

よって

が確認できました（\( \alpha = -2 \) でも成り立ちます）。

一方の

は明らかです。

\( P(1) = 1^2 + 1 – 2 = 0 \) となります。

また、\( P(x) = x^2 + x – 2 = (x-1)(x+2) \) と因数分解できるので、\( (x-1) \) を因数にもつことがわかります。

したがって、因数定理が成り立つことが確認できます。

因数定理の証明は、剰余の定理と同じです。

剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理になります。

整式 \( P(x) \) を1次式 \( (x- \alpha) \) で割ったときの余り商を \( Q(x) \)，余りを \( R \) とすると

\( P(x) = (x- \alpha) Q(x) + R \)

と表すことができます（∵ 割り算の基本等式）。

この等式の両辺に \( x= \alpha \) を代入すると

\( \begin{align} P(\alpha) & = (\alpha – \alpha) Q(\alpha) + R \\ \\ & = 0 \times Q(\alpha) + R \\ \\ & = R \end{align} \)

よって、\( P(x) \) が \( (x- \alpha) \) を因数にもつ必要十分条件は \( R=0 \) のときである。 （∵「\( (x- \alpha) \) を因数にもつ」\( \Leftrightarrow \)「\( (x- \alpha) \) で割り切れる」）

つまり、\( P(\alpha) = 0 \) のときである。

したがって、因数定理

「整式 \( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ \( \Leftrightarrow \ P(\alpha) = 0 \)」

が成り立つ。

剰余の定理がよくわからない人は「剰余の定理まとめ（公式・証明・問題）」の記事もぜひチェックしてみてください。

因数定理はその名の通り、因数を見つけるときに活躍する定理なので、因数分解するとき（高次方程式を解くとき）にとても役に立ちます。

具体的に、因数定理を使って因数分解の問題をやってみましょう。

\( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) を因数分解せよ。

【解答】

\( P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) とおく。

因数定理で因数を求めるために、\( P(x) = 0 \) となるような \( x \) を探します。

\( \begin{align} P(2) & = 2^3 – 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 – 6 \\ & = 8 – 24 + 22 – 6 \\ & = 0 \end{align} \)

となるので、因数定理より、\( P(x) \) は \( x-2 \) を因数にもつことがわかりました。

\( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) を \( x-2 \) で割り算をすると

したがって

\( \begin{align} P(x) & = (x-2)(x^2 – 4x + 3) \\ \\ & = \color{red}{ (x-2)(x-1)(x-3) \ \cdots 【答】 } \end{align} \)

因数定理を使って因数分解をする方法は理解できましたか？ 問題をこなしていくうちに気付くことがあると思います。

それは、「肝心の『\( P(\alpha) = 0 \) になる \( \alpha \)（因数）』を見つけるの大変じゃね！？」ということです。

でも安心してください！因数の見つけ方というものがちゃんと存在します！ ここでは、「因数の見つけ方」について解説していきます。

結論から言うと、\( P(\alpha) = 0 \) になる \( \alpha \) の候補は次の通りです。

\( P(x) \) について，\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) の候補は

\( \large{ \displaystyle \color{red}{ \pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数} } } \)

例えば、\( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) であれば、\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) の候補は \( \displaystyle \color{red}{ \pm \frac{dの約数}{aの約数} } \)　になります。

【証明】

\( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) とする。

\( \displaystyle P \left( \frac{q}{p} \right) = 0 \) のとき，\( P(x) \) は \( px-q \) で割り切れるから，商を \( lx^2 + mx + n \) とすると，

\( ax^3 + bx^2 + cx + d \\ = (px-q) (lx^2 + mx + n) \)

（係数はすべて整数）が成り立つ。

両辺の最高次（\( x^3 \)）の項と定数項を比較すると

\( a=pl, \ \ d=-qn \)

よって，\( \alpha \) の候補は

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{q}{p} = \pm \frac{dの約数}{aの約数} } \)

つまり、\( \displaystyle \color{red}{ \pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数} } \)

（最高次の係数が1のときは，\( \alpha \) の候補は 定数項の正負の約数 ということになる。）

先ほどの例題でいうと、\( P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) でした。

\( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = (x- \alpha) (x^2 + px + q) \) とすると，\( -6 = \ – \alpha q \)

\( \alpha q \) が整数なら，\( \alpha \) は定数項「－6」の約数なので、\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) は、±1，±2，±3，±6 のどれかになります。

同様に、\( P(x) = 2x^3 – 9x^2 + 2 \) であれば、最高次（\( 2x^3 \)）の係数は「2」、定数は「2」なので、\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) は、±1，±2，\( \displaystyle \pm \frac{1}{2} \) から探せばよいです。

例では3次式の場合のみ解説しましたが、この定理は \( P(x) \) が何次式でも成り立ちます。

この方法を知っていれば、闇雲に代入して探す必要がなくなります！

もうひとつ、高次式の因数分解をするときの問題が「筆算の割り算だるくね！？」ということです。

この割り算を簡単に計算する方法が「組み立て除法」です。

\( a_0 x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3 \) を \( x- \alpha \) で割ったときの商を \( b_0 x^2 + b_1 x + b_2 \)，余りを \( R \) とすると

\( \begin{align} & a_0 x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3 \\ \\ = & (x- \alpha) (b_0 x^2 + b_1 x + b_2) + R \\ \\ = & b_0 x^3 + (b_1 – \alpha b_0)x^2 \\ & \ + (b_2 – \alpha b_1)x + (R – \alpha b_2) \end{align} \)

よって、両辺の係数を比較すると

\( \begin{cases} a_0 = b_0\\ a_1 = b_1 – \alpha b_0 \\ a_2 = b_2 – \alpha b_1 \\ a_3 = R – \alpha b_2 \end{cases} \)

したがって

\( \begin{cases} b_0 = a_0 \\ b_1 = a_1 + \alpha b_0 \\ b_2 = a_2 + \alpha b_1 \\ R = a_3 + \alpha b_2 \end{cases} \)

この計算を下の図の形式で行うのが、組み立て除法です。

文字ばかりでわかりにくいと思うので、先ほどの例題を使って具体的にやってみましょう。

【例】　\( (x^3 – 6x^2 + 11x – 6) \div (x-2) \)

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

以上が因数定理についての解説です。

因数定理は問題を解く過程でよく使います。因数の見つけ方を覚えておけば、すぐに因数を見つけられるようになるので、ぜひ覚えておいてください。

お疲れさまでした！