导数法则

导数 是在函数上任何一点的坡度。

有很多法则可以帮助我们去求导数。

例子：

以下是一些常用的法用来求函数的导数（例子在下面）。注意：这个符号 ’ 的意思是 "的导数"。.

"的导数" 也可以写成 d dx

所以 d dx sin(x) 和 sin(x)’ 是 一样的，只不过写法不同

从上面的列表我们可以看到答案是 cos(x)

可以写为：

sin(x) = cos(x)

或：

sin(x)’ = cos(x)

问题是 "x3 的导数是什么？"

我们可以用幂次方法则，以 n=3:

xn = nxn−1

x3 = 3x3−1 = 3x2

1/x 等于 x-1

我们可以用幂次方法则，以 n = −1:

xn = nxn−1

x−1 = −1x−1−1 = −x−2

cf 的导数 = cf’

5f 的导数 = 5f’

幂次方法则：

x3 = 3x3−1 = 3x2

所以：

5x3 = 5x3 = 5 × 3x2 = 15x2

加法法则说：

f + g 的导数 = f’ + g’

所以我们可以求每项的导数，然后求它们的和。

幂次方法则：

所以：

x2 + x3 的导数 = 2x + 3x2

变量不一定是 x，我们可以相对于 v 来求导数：

减法法则说：

f − g 的导数 = f’ − g’

所以我们可以求每项的导数，然后求它们的差。

幂次方法则：

所以：

v3 − v4 的导数 = 3v2 − 4v3

幂次方法则：

所以：

(5z2 + z3 − 7z4) = 5 × 2z + 3z2 − 7 × 4z3 = 10z + 3z2 − 28z3

积法则说：

fg 的导数是 = f g’ + f’ g

在这个例子里：

根据上面的列表：

所以：

cos(x)sin(x) 的导数 = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x) = cos2(x) − sin2(x)

倒数法则说：

1/f 的导数 = −f’/f2

若 f(x)= x，f’(x) = 1

所以：

1/x 的导数是 = −1/x2

结果和在上面用幂次方法则求的一样。

sin(x2) 是由 sin() 和 x2 结合而成：

链式法则说：

f(g(x)) 的导数 = f'(g(x))g'(x)

导数分别是：

所以：

d dx sin(x2) = cos(g(x)) (2x)

= 2x cos(x2)

链式法则也可以写成： dy dx = dy du du dx

让我们用这个公式来再做一遍上面的例子：

dy dx = dy du du dx

设 u = x2，所以 y = sin(u)：

d dx sin(x2) = d du sin(u) d dx x2

分别微分：

d dx sin(x2) = cos(u) (2x)

代入 u = x2 和简化：

d dx sin(x2) = 2x cos(x2)

结果和上面一样！

再来看看一些链式法则的例子：

1/cos(x) 是由 1/g 和 cos() 结合而成：

链式法则说：

f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)

导数分别是：

所以：

(1/cos(x))’ = −1/(g(x))2 × −sin(x)

= sin(x)/cos2(x)

注意：sin(x)/cos2(x) 也是 tan(x)/cos(x)，或其他不同的形式。

链式法则说：

f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)

(5x-2)3 是由 g3 和 5x-2 结合而成：

导数分别是：

所以：

(5x−2)3 = 3g(x)2 × 5 = 15(5x−2)2