e与π相联系的三种形式

  常数本是数学世界里最无趣的存在：如果你求导得到常数，那么你或许正在处理一条直线；如果你积分得到常数，你可能发现了一种新的概率分布形式；如果你证明了好几个变量的关系式等于常数……额，那么我想你大概应该回去检测一下是否一些条件被过度近似了，如果不是的话——恭喜你，你大概得到了某种全新的物理规律。

  然而在数学世界里，有这么两个常数，它们虽然亘古不变，求导为零，乍一看来似乎没有发掘的可能，却在各种意义上支撑了分析、数论、几何的发展；如果有人问你数学美在何处，你也可以用那个经典的将二者结合起来的等式来无声指出你想表达的一切。

  这两个常数是什么呢？相信大部分读者在很早之前就猜到了，它们就是：

  阿姆斯特朗回旋第一曲率常数A！

  还有沃兹基硕德曲面积分常数W！

  而那个将二者结合起来的等式就是：

  AW=SL

  右边表示up主的秃头面积乘以它的腿长，这个式子的精彩程度我们可以说上……唔唔，唔……（已被相关部门拖走隔离处理，大概是学傻了吧）

  咳咳！好，我们回到正题，这两个常数就是e和π，它们其实刻画的是自然界的均匀稳定性，这一点可以从“e指数函数求导等于自身”“相亲问题中1/e是选择范围”“对全空间积分时乘以4π”“对全平面积分时乘以2π”等等地方看出，然而更令人称奇的是，两个常数之间竟然存在着相当紧密的联系。

  接下来我们将展示三种将e和π联系起来的形式，前两种大家相对比较熟悉，最后一种我想相对要新颖一些。

一.欧拉公式

  如图所示，这就是之前提到的可以用来证明数学之美的式子，历史上欧拉自己还用这式子证明过上帝的存在，当然这有可能只是野史，我们没必要去仔细考证，至少我们可以从中再一次感受到数学简洁形式中蕴藏的复杂之美，“数狠话不多”，大概就是这个意思（？）

  这个式子的证明方法有很多，泰勒展开或者按照复指数定义直接证明均可，在这里给出第二种：

Pf: 有定义：e的iθ次方=cosθ+isinθ

      代入θ=π

      则有：e的πi次方=-1

      原式得证。

  实际上复指数描述的是对复平面矢量进行的旋转变换，e的iθ次方的取值相当于将（1，0）这个矢量逆时针旋转θ角后得到的矢量。

  互动题：e的i（π/2）次方等于多少？

二.高斯积分

  如图所示，对这个与e相关的复合函数在整个实数域上进行积分可以得到根号下π，某种程度上这个式子的帅气程度要高于上面的欧拉公式（因为这个式子一些某乎级硕博应该是看不懂的）。

  证明的话只需要进行一下极坐标转化和变量代换即可，但过程仍相对复杂，此处略。

  互动题：如图积分结果是多少？

三.等圆切割问题

  如图，考虑一个半径为r的圆，我们如何用一个等大的圆周与之相交，使得第一个圆的面积被分成相等的两部分？为了刻画第二个圆的位置，我们连接第一个圆的圆心和两个圆的交点得到角n，现在我们需要做的就是求出最后的n值。

  事实上利用面积关系进行计算后我们可以得到关于n的方程：

  n-sin n=π/2

  这个方程可以通过计算机求解，答案应该是：n=132.34645883……（度）

  可是这和e有什么关系呢？

  接下来最震撼的一幕发生了：

  2π/e=132.43659882……（度）

  n精确到个位仍然与2π/e相等，这说明了什么？

  才个位好吧，小数点都没过！这完全是巧合，并没有什么实际的数学意义，根据方程的形式我们就可以判断最后的解不会非常好看，更别说包含e了，上面的近似等式完全就是up主写来玩的，目的就是告诉大家：

  如果一个近似是为了近似而近似，那么这种近似是没有意义的，我们使用近似条件时应当以数学规律为第一原则。

  大家还想得到哪些把e和π联系起来的式子吗？欢迎在评论区分享（毕竟你们也看得出来本文作者实在是太菜了，求各位大佬带带我）。