证明由AB=E得，BA=E

前言 相信好多小伙伴在看到矩阵的逆的定义时都会有个小疑惑，为什么只需要证明 A B = E AB=E AB=E,则就可以说明A和B是互逆的，而无需再证 B A = E BA=E BA=E，这里给出两个小证明，本质是一样的，证明方式二更简洁一些。

证明方式一： 由 A B = E AB=E AB=E得 ∑ k = 1 n a i k b k j = { 1 , i = j 0 , i ≠ j \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}= \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} k=1∑n​aik​bkj​={1,0,​i=ji=j​

上式由矩阵乘法得到，n为方阵的大小

记 A i j A_{ij} Aij​为矩阵A对应位置的代数余子式，结合上式(两边乘 A s i A_{si} Asi​)可构造以下等式 A s i ⋅ ∑ k = 1 n a s k b k j = { A j i , s = j 0 , s ≠ j A_{si} \cdot \sum_{k=1}^{n}a_{sk}b_{kj}= \begin{cases} A_{ji}, & s = j \\ 0, & s \neq j \end{cases} Asi​⋅k=1∑n​ask​bkj​={Aji​,0,​s=js=j​ 其中 s = 1 , 2 , . . . , n s=1,2,...,n s=1,2,...,n

对不同s求和 ∑ s = 1 n A s i ⋅ ∑ k = 1 n a s k b k j = A j i \sum_{s=1}^{n}A_{si} \cdot \sum_{k=1}^{n}a_{sk}b_{kj}=A_{ji} s=1∑n​Asi​⋅k=1∑n​ask​bkj​=Aji​ 交换求和顺序,并将 b k j b_{kj} bkj​提出得 ∑ k = 1 n b k j ⋅ ∑ s = 1 n a s k A s i = A j i \sum_{k=1}^{n}b_{kj} \cdot \sum_{s=1}^{n}a_{sk}A_{si}=A_{ji} k=1∑n​bkj​⋅s=1∑n​ask​Asi​=Aji​ 结合代数余子式的性质 ∑ s = 1 n a s k A s i = { ∣ A ∣ , k = i 0 , k ≠ i \sum_{s=1}^{n}a_{sk}A_{si}= \begin{cases} \left | A\right | , & k = i \\ 0, & k \neq i \end{cases} s=1∑n​ask​Asi​={∣A∣,0,​k=ik=i​可得 b i j ⋅ ∣ A ∣ = A j i b_{ij} \cdot \left | A\right | =A_{ji} bij​⋅∣A∣=Aji​ 对 A B = E AB=E AB=E两边取行列式得： ∣ A ∣ ∣ B ∣ = 1 |A| |B|=1 ∣A∣∣B∣=1,即可推出: ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0 故有以下重要等式 b i j = A j i ∣ A ∣ b_{ij} = \frac{A_{ji}}{\left | A\right | } bij​=∣A∣Aji​​ 故有 ∑ k = 1 n b i k a k j = ∑ k = 1 n A k i ∣ A ∣ ⋅ a k j = 1 ∣ A ∣ ⋅ ∑ k = 1 n A k i a k j = { 1 , i = j 0 , i ≠ j \sum_{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj}=\sum_{k=1}^{n} \frac{A_{ki}}{\left | A\right | } \cdot a_{kj} = \frac{1}{\left | A\right | } \cdot \sum_{k=1}^{n}A_{ki}a_{kj}= \begin{cases} 1 , & i=j\\ 0, & i \neq j \end{cases} k=1∑n​bik​akj​=k=1∑n​∣A∣Aki​​⋅akj​=∣A∣1​⋅k=1∑n​Aki​akj​={1,0,​i=ji=j​ 既 B A = E BA=E BA=E,证明完毕。

参考

矩阵，如果AB=E，只用矩阵乘法的定义如何证明BA=E？

证明方式二：

前置知识： A ∗ A = ∣ A ∣ E A^*A=|A|E A∗A=∣A∣E，其中 A ∗ A^* A∗为A的伴随矩阵 由前置知识结合AB=E得：

∣ A ∣ E = A ∗ A = A ∗ E A = A ∗ ( A B ) A = A ∗ A ( B A ) = ∣ A ∣ E B A = ∣ A ∣ B A |A|E = A^*A = A^*EA=A^*(AB)A=A^*A(BA)=|A|EBA= |A|BA ∣A∣E=A∗A=A∗EA=A∗(AB)A=A∗A(BA)=∣A∣EBA=∣A∣BA 此外，对 A B = E AB=E AB=E两边取行列式得： ∣ A ∣ ∣ B ∣ = 1 |A| |B|=1 ∣A∣∣B∣=1,即可推出: ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0 因此，上述公式两边同时除以 ∣ A ∣ |A| ∣A∣得： E = B A ，即 B A = E E = BA，即BA=E E=BA，即BA=E 证明完毕。

参考 【线性代数】A为方阵,当存在B使得 AB=E ，证明BA=E