∫e^(

标题格式原因，其实本文要讲的是

\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx

的积分方法。

记 I = \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx

那么同理 I = \int_{0}^{+\infty}e^{-y^2}dy

两者相乘得到 I^2=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy

这在极坐标下相当于对一个半径为 +\infty 的，在第一象限的扇形进行积分，也就是

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int^{+\infty}_{0}e^{-r^2}rdr

容易解得这个积分的结果为 \frac{\pi}{4} ，那么相应的就有 I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

（这个积分相乘是怎么得到二重积分的？请参考下面这个回答）

（下面的两种方法是在不知道积分结果，但是知道一些其他结论时，用这些已学到的结论反推结果）

已知对于标准正态分布有：

\int_{0}^{+\infty}\varphi(x)dx = \int^{+\infty}_{0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = \frac{1}{2}

简单移项就可得：

\int^{+\infty}_{0}e^{-(\frac{x}{\sqrt 2})^2}d(\frac{x}{\sqrt 2})=\frac{\sqrt\pi}{2}

把被积公式凑成 Gamma 函数的形式：

I = \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}2x^{+2-2}e^{-x^2}dx\\ = \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}(x^2)^{(\frac{1}{2}-1)} e^{-x^2}dx^2 \\ = \frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt\pi}{2}