单变量微积分笔记

今天总算完整听完了MIT 18.01单变量微积分的课程，课程最后一部分主要讨论了处理无穷的方法。我对于级数这一部分印象极为深刻，突然明白欧拉公式是怎么证明的了，所以想写一篇博客整理一下思绪，但一切都得从概念上讲起。

无穷级数是指无穷多个以既定方式排列的数字的总和。用数学语言来表示的话，设数列为 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . , a_1,a_2,a_3,...,a_n, ..., a1​,a2​,a3​,...,an​,...,，其部分和定义为： S n = ∑ 1 n a n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n S_n=\sum_{1}^{n}a_n=a_1+a_2+a_3+... +a_n Sn​=1∑n​an​=a1​+a2​+a3​+...+an​ 无穷级数则表示为： ∑ n = 1 ∞ a n = lim ⁡ n → ∞ S n = lim ⁡ n → ∞ ∑ n = 1 n a n \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to \infty}S_n=\lim_{n\to \infty}\sum_{n=1}^{n}a_n n=1∑∞​an​=n→∞lim​Sn​=n→∞lim​n=1∑n​an​

通过之前对积分的学习，再结合本科这四年学习中的经验，我个人认为级数是从离散的角度（或者说是更加实际的角度）去理解一个连续函数，这种方法也非常适合设计一些计算机程序去估计函数值，导数等等（计算机最喜欢处理重复性的问题）。而对于积分而言，它更像是一种理想化的，更适合人类本身运算的方法，但是遇到了更困难的超越函数之类，在不能通过巧妙的换元法等技巧求解的时候，积分这种方法就不如离散的级数方法有效了。以上只是比较泛泛的对于积分和级数的理解，以下的内容比较具体。

个人认为级数可以说是黎曼和（Riemann Sum）的一种特殊表达形式。对于定积分而言，例如上黎曼和（选择函数左侧数值作为矩形的高度，下黎曼和则选择右侧数值）的一般形式会将区间 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b] 分成 N N N份，间隔 Δ n = ( b − a ) / N \Delta n=(b-a)/N Δn=(b−a)/N得到： S = ∑ k = 1 N − 1 f ( a + ( k − 1 ) Δ n ) ⋅ ( a + ( k − 1 ) Δ n ) S=\sum_{k=1}^{N-1}f(a+(k-1)\Delta n)\cdot(a+(k-1)\Delta n) S=k=1∑N−1​f(a+(k−1)Δn)⋅(a+(k−1)Δn) 而级数则是在区间 x ∈ [ x 0 , ∞ ] x\in[x_0,\infty] x∈[x0​,∞] 上中间间隔为1的黎曼和（通过上下黎曼和也可以估计级数部分和的大小）： S i n f = ∑ 1 ∞ f ( x ) ⋅ 1 S_{inf}=\sum_{1}^{\infty}f(x)\cdot1 Sinf​=1∑∞​f(x)⋅1

在MIT 18.01中，Jerison教授对比了级数和积分，并给出了一个定理： （参考讲义session 95b） 如果 f ( x ) f(x) f(x) 是递减函数且在区间 [ 1 , ∞ ] [1,\infty] [1,∞] 上 f ( x ) ; 0 f(x);0 f(x)>0，那么级数 ∑ 1 ∞ f ( x ) \sum_1^\infty f(x) ∑1∞​f(x) 和积分 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x \int_1^\infty f(x)dx ∫1∞​f(x)dx 同时收敛或发散，并且满足： ∑ 1 ∞ f ( x ) − ∫ 1 ∞ f ( x ) d x ; f ( 1 ) \sum_1^\infty f(x)-\int_1^\infty f(x)dx;f(1) 1∑∞​f(x)−∫1∞​f(x)dx