新命题目题目库大全高考数学试题目解析分项专题目03函数与导数文

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+bx+c)cx,其中b,cR为常数.（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.解：（Ⅰ）求导得f2(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex..因b2＞4(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；x1=－＜x2=－令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x1；又令f′（x）＞0，解得x1＜x＜x2.故当xε（-,x1）时，f(x)是增函数，当xε（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当xε（x1，x2）时，f(x)是减函数.（Ⅱ）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此.所以，由已知条件得b+e=4b2≤4(e-1),因此b2+4b-12≤0.解得-6≤b≤2.19．（2006年全国卷II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．19．解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……5分(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．……9分(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．……12分解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．　　……3分对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……6分当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，……9分所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．……12分20．（2006年四川卷）已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，满分14分。证明：（Ⅰ）由得而①又∴②∵∴∵∴③由①、②、③得即（Ⅱ）证法一：由，得∴下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立∵设，则令得，列表如下：极小值∴∴对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得∴∵是两个不相等的正数∴设，则，列表：极小值∴即∴即对任意两个不相等的正数，恒有21．（2006年陕西卷）已知函数且存在使（I）证明：是R上的单调增函数；设其中　（II）证明：（III）证明：21.解:（I）∵f'(x)=3x2－2x+=3(x－)2+>0,∴f(x)是R上的单调增函数. （II）∵00=x1,y2=f(y1)=f()=0；④.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是②③.6．（2005福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数的图象与的图象关于对称，则函数=.（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）(①x轴，②y轴，)③原点，④直线 7（2005湖北卷）．函数的定义域是.8.（2005湖南卷）设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f(4)＝0，则f－1(4)＝-2　　.9.（2005上海）函数f(x)=log4(x+1)的反函数f(x)=4-1．10.（2005上海）方程4x+2x-2=0的解是x=0．11.（2005天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_0_______________.12.（2005江西卷）若函数是奇函数，则a=.13.(2005浙江)函数y＝(x∈R，且x≠－2)的反函数是．解答题：1、（2005广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由 (II)又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.2.（2005全国卷Ⅰ）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。解：（Ⅰ）①由方程②因为方程②有两个相等的根，所以，即由于代入①得的解析式（Ⅱ）由及由解得故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是3.（2005北京卷）设f(x)是定义在[0,1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0,x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0,1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r；（III）选取x1，x2∈(0,1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1) ，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）解：（I）证明：设x*为f(x)的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0,x*]上单调递增，在[x*,1]上单调递减．当f(x1)≥f(x2)时，假设x*(0,x2)，则x1f(x1)，这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0,x2)，即(0,x2)是含峰区间.当f(x1)≤f(x2)时，假设x*(x2,1)，则x*f(x2)，这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1,1)，即(x1,1)是含峰区间.（II）证明：由（I）的结论可知：当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；对于上述两种情况，由题意得①由①得1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r,②将②代入①得x1≤0.5－r,x2≥0.5－r，③由①和③解得x1＝0.5－r，x2＝0.5＋r．所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．（III）解：对先选择的x1；x2，x1x3时，含峰区间的长度为x1．由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34．因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．4（2005上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,(、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6.(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数的最小值.[解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2.∴k=1,b=2.(2)由f(x)>g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立∴的最小值是-3.5,（2005上海）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),f(x)·g(x)当x∈Df且x∈Dg规定:函数h(x)=f(x)当x∈Df且xDgg(x)当xDf且x∈Dg(1)若函数f(x)=-2x+3,x≥1;g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的最大值;(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.6..[解](1)h(x)=(-2x+3)(x-2)x∈[1,+∞)x-2x∈(-∞,1)(2)当x≥1时,h(x)=(-2x+3)(x-2)=-2x2+7x-6=-2(x-)2+∴h(x)≤;当x1，解关于x的不等式；.解：（1）将得（2）不等式即为即①当②当③.9.（2005全国I）（1）设函数，求的最小值；（2）设正数满足，求证：（Ⅰ）解：对函数求导数：于是当在区间是减函数，当在区间是增函数.所以时取得最小值，，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.（ii）假定当时命题成立，即若正数，则当时，若正数令则为正数，且由归纳假定知①同理，由可得②综合①、②两式即当时命题也成立.根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.证法二：令函数利用（Ⅰ）知，当对任意.①下面用数学归纳法证明结论.（i）当n=1时，由（I）知命题成立.（ii）设当n=k时命题成立，即若正数由①得到由归纳法假设即当时命题也成立.所以对一切正整数n命题成立.导数部分1、(2005广东卷)函数是减函数的区间为(D)2005（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）2.（2005全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（B）（A）2（B）3（C）4（D）53.（2005湖北卷）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（D）-22O1-1-11A．3B．2C．1D．04．(2005江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是(C）O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD5.(2005浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(B)(A)(B)(C)(D)16.(2005重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2 所围成的三角形的面积为______8/3____。7.（2005江苏卷）（14）曲线在点（1,3）处的切线方程是8.(2005全国卷III)曲线在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=09.（2005北京卷）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为(1,e)；，切线的斜率为e．10.(2005全国卷Ⅱ)设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解：(I)=3－2－1若=0，则==－，=1当变化时，，变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+极大值极小值∴的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。11.(2005全国卷Ⅱ)已知a≥0，函数f(x)=（-2ax）(1)当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（2）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围.解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表+0－0+递增极大值递减极小值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。当≥0时，0,1036时，V′>0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分所以当x=10,V有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分13.(2005全国卷III)已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围解：对函数求导，得令解得或当变化时，、的变化情况如下表：x00所以，当时，是减函数；当时，是增函数；当时，的值域为（Ⅱ）对函数求导，得因此，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又，，即当时有任给，，存在使得，则即解式得或解式得又，故：的取值范围为14.（2005北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)>0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．15．（2005福建卷）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是（Ⅱ）解得当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.16．（2005福建卷）已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的切线方程为x+2y+5=0，知17.（2005湖北卷）已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立 .解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，18．（2005湖南卷）设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得因此故，，（II）解法一.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（－1，3）上单调递减.所以的取值范围为解法二：因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，所以即解得所以的取值范围为19.（2005湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.解：（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；②当a0总有x>0的解；则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－14时有两个不同的实根，，不妨设0，当>时>0，因此无极值（3）当△0时,，作出其草图见右,易知有两个极值点借助于图像可知当时，函数在区间[1,2]上为增函数，此时当时,显然此时函数的最小值为当时，，此时在区间为增函数，在区间上为减函数，∴，又可得∴则当时，，此时当时，，此时当时，,此时在区间为增函数，故(II)当时，，此时在区间也为增函数，故（III）当时，其草图见右显然函数在区间为增函数，故更多>>